تويت
التحليل البياني المستخدم لموازنة خطوط الإنتاج
منطقة الحلول العملية
مقدمة
يتميز الحال البياني لمشكلة البرمجة الخطية بالسهولة والوضوح والسرعة، إذ أننا بالنظر الرسم البياني الذي يتمثل فيه جميع الشروط والمغيرات يمكننا أن نجد الحلول المختلفة للمشكلة وان نقارن القيم التي تتخذها الدالة الهدفية في هذه الحلول، أو بمعني آخر نقارن الأرباح والإيرادات والتكاليف عند هذه الحلول المقارنة. إلا أنه يمكننا الحصول علي الحل البياني للمشكلة إلا إذا كان هناك متغيران أو ثلاثة علي أكثر تقدير حيث أننا من المستحيل رسم وتفهم رسم بياني ذو أربعة جوانب أساسية ( وهي متغيرات المشكلة لكل متغير جانب ). وبالطبع إذا ما زاد عدد المتغيرات ثلاثة فلدينا الطريقة الجبرية وكذلك طريقة السمبلكس Simplex Method.
ويحصل علي الحل البياني للمشكلة - بعد تكوينها في الشكل النهائي – علي ثلاث خطوات: الخطوة الأولي وهي عبارة عن تحديد منطقة الحلول العملية Feasible Region ، والخطوة الثانية وهي تحديد الحلول الأساسية في مشكلة، والخطوة الثالثة وهي إيجاد الحل البياني عن طريق تقييم الدالة الهدفية عند كل الحلول الأساسية.
تحديد منطقة الحلول العملية
Determining The Feasible Region
تتحدد منطقة الحلول العملية في مشكلة البرمجة الخطية علي أساس الناتج الصافي من جميع الشروط والمقيدات الموجودة في مشكلة والتي يجب أن يستوفيها أي حل لفرضه. ويعرف الحـل العملي بأنـه أي حل يستوفي جميع الشروط والمقيدات الموجودة في التكوين النهائي للمشكلة، أما الحلول غير العملية فهي الحلول التي لا تتقيد بشرط أو أكثر من الشروط أو أكثر من شروط المفروضة. فمثلاً لو عرض علينا حلاً يطلب فيه إنتاج 3500 خزانة معدنية فإن هذا الحل يعتبر حلاً غيرعملي حيث أنه يخالف الشرط الأول الذي ينص علي إنتاج خزائن معدنية (1x ) لا تزيد عن 3000 خزانة بأي حال من الأحوال (المعادلة رقم 1-2 ). وعلي نفس النمط نعتبر إنتـاج 2500 مكتباً معدنيـاً حلاً غير عملـي لمخالفـة للشرط الثانـي
( المعادلة رقم 2-2 ) والتي تحدد الحد الأقصي من المكاتب بعدد 1750 مكتب.
وتتحدد منطقة الحلول العملية إذا ما قمنا برسم جميع الشروط والمقيدات في رسم بياني. واحد كما يري في الشكل البياني رقم ( 1-6 ) ويلاحظ أنه في هذا الشكل قد قمنا بوضع جميع المقيدات والشروط – التي سبق وذكرتها في تكوين المشكلة وتحديدها – في رسـم بياني واحد يضمهم جميعاً. ومنطقة الحلول العملية هـي المنطقة التي تدخل في نطـاق جميع هذه الشروط والمقيدات ولا تتعداها، وهي المنطقة المظلة في الرسم البياني رقم ( 1-6 ). وأية نقطة من داخل هذه المنطقة تشمل علي إنتـاج عدد معين من الخزانات المعدنية وآخر من المكاتب المعدنية.
والنقطة رقم ( G ) تشتمل علي إنتاج 2000 خزنة معدنية، 1000 مكتب معدني، بينما النقطة ( F ) تشتمل علي 1500 خزانة معدنية و 750 مكتب معدني. وكلاً النقطتين تمثلان حلان عمليان حيث أنهما يستوفيان جميع الشروط المطلوبة في المشكلة. أما النقطة ( H ) فهي تمثل إنتاج 3000 خزانة معدنية و 2750
http://www7.0zz0.com/2008/06/14/16/408277144.jpg
مكتب معدني وهي تمثل حلاً غير عملي حيث أنها تخالف الشرط الثاني، والشرط الثالث والشرط الرابع الموجودين في المتباينات رقم ( 2-1 ). ( 3-1 ). ( 4-1 )
جميعاً.
ويجب أن يلاحظ أن تعريف الحل العملي يقتصر علي انه حل ممكن بمعني أنه مستوفي للشروط والمقيدات الموجودة في المشكلة، ولكن هذا لا يعني أنه الحل الأفضل إذ أن الحل الأفضل هو الحل الذي يعطي أعلي الإيرادات (أو أقل التكاليف)
من بين الحلول العملية الموجودة في منطقة الحلول العملية. وعلي سبيل المثال أن اتخاذ القرار الخاص بعدم إنتاج أيّة خزائن أو مكاتب معدنية (1 X= صفر، 2 X= صفر) هو حل عملي بالرغم من أنه لا يجلب أية إيراد علي الإطلاق، ولكن العمرة بأنه مستوفي للشرط والمقيدات الموجودة في المشكلة.
تحديد الحلول الأساسية
Determining The Basic Solutions
يعتبر حلاً أساسياً في مشكلة البرمجة الخطية أي حل تكون فيه عدد المتغيرات الإيجابية ( فوق الصفر ) مساوي لعدد الشروط الموجودة في المشكلة سواء كانت
الأساسية (1X ،2X) أو من المتغيرات الإضافية (3 X, 4X, 5X ،6X). وفي مشكلتنا هذه فإن الحل الأساسي هو أي حل نجد فيه عدد المتغيرات الإيجابية مساوي لأربعة ( حيث أنه لدينا أربعة شروط في كل مشكلة ) ويجب علينا أن ندرك أن جميع الحلول الأساسية يجب ان تكون حلولاً عملية في المشكلة، إلا أن العكس غير صحيح، حيث أنه هناك عديد من الحلول العملية التي لا تدخل في نطاق الحلول الأساسية. فعلي سبيل المثال فإن الحل التالي يعد حلاً عملياً حيث أنه يقع في المنطقة العملية.
1X = 800 ، 2X = صفر
3X = 2200 ، 4X = 1750
5X = 350 ، 6X = 3700
ولكن هذا الحل لا يستوفي شرط الحلول الأساسية حيث أنه لدينا خمس متغيرات بقيمة ايجابية ( فوق الصفر ) بينما ان عدد الشروط في المشكلة أربعة فقط كما سبق وذكرنا، وعلي هذا فإن الحل العملي المذكور آنفاً لا يعد حلاً أساسياً.أما بالنسبة للحل.
1X = 2000 ، 2X = 1750
3X = 1000 ، 4X = صفر
5X = صفر ، 6X = 750
فهو يعد حلاً عملياً وأساسياً في الوقت نفسه حيث أن عدد المتغيرات الإيجابية ( غير الصفرية ) مسار لعدد الشروط المذكورة في المشكلة.
وأهمية ذكر وتعريف الحلول الأساسية ترجع إلي أثرها الكبير علي عدد الحلول التي يجب فحصها ودراستها حتى نصل إلـي الحل الأفضل سواء كان هذا في الطريقة البيانية أو الجبرية أو الطريقة السمبلكس. فالواقع أن الحلول الأساسية هي الحلول ركنية Corner Solutions بـمعني أنها تمثل حلولاً تقع في الأركـان الموجودة في منطقة الحلول العملية. والركن في هذه الحالة هو المكان الذي يقع في مخصص الحلول العملية ويتقابل فيه خطان يمثلان شرطين مـن شروط الحـل المطلوبة في المشكلة(1). وميزة هذه الحلول الأساسية التي تقع في الأركان المختلفة هي أنها تمثل أفضل الحلول الممكنة فـي المشكلة تحت الدراسة، وبـالتالي فإن اهتمامنا ينحصر فـي الحلول الركنية فقط وعلي ذلك نحاول تقييم الإيرادات ( أو التكاليف ) في كل هذه الأركان لنختار الحل الأفضل فيما بينها. وحيث أن الحلول الركنية هي أفضل الحلول المعروضة التي يمكن اختيارها فإن الحل الأفضل للدالة الهدفية المختار من الحلول الركنية سيكون أفضل الحلول جمعاء.
بقي الآن أن نعرف لماذا نؤكد أن الحلول الركنية تمثل أفضل مجموعة من الحلول الممكنة، واثباث هذه النقطة أمر من التعقيد بمكان إلا أنه يمكن مناقشتها من الناحية المنطقية علي مرحلتين: المرحلة الأولـي وهي أن حل في داخـل المنطقة العملية وليس علي احد الخطوط المقيدة ( التي تمثل الشروط في المشكلة ) يمكن ان نجد له حلاً أفضل يقع علي أحد الخطوط المقيدة.
و منطق هذه العملية بسيط حيث أن شرط العائـد الثابت علي المتغيرات والمـواد ويجعل من الواجب دائماً دفع الحل المقترح إلي الحد الأقصى الذي يستعمل فيه كلاً من المتغيرين. أو أحدهما الطاقة الكاملة له وبالتالي الحصول علي عائد أفضل.
فمثلاً لو قمنا بدراسة الحل 1X = 2500 ، 2X = 1000 وهو فـي منطقة الحلول العملية إلا أنه ليس علي أحد الخطوط المقيدة لوجدنا أنه من الأفضل دفع هذا الحل إما إلي فوق بزيادة 2X من 1000 إلي 1400 مع بقاء 1X علي حاله، واما إلي اليمين بزيادة 2X إلي 3000 مع بقاء 1X علي حاله – وبالطبع فإن أي من المذكورين يعد أفضل من الحل الأصلي المعروض والذي ليس علي أحد الخطوط المقيدة حيث ان أية زيادة في 1X أو2X مع بقاء الآخر علية حالة زيادة الإيراد، وبالتالي: فإن الحل البديل أفضل من الحل الأصلي.
والمرحلة الثانية هي أنه لأي حل موجود علي أحد الخطوط المقيدة والمحددة لمنطقة الحل العملي يوجد حل ركني أفضل منه من أو مماثل له.
و الأساس في هذه النقطة هو أيضاً في فرض ثبات الإيراد الناتج عن استعمال الموارد أو الإنتاج في حالتنا هذه، وبالتالي يمكن دفع الحل علي هذا الخط لاستعمال احد الموارد أو المتغيرات استعمالاً أكبر وبالتالي الحصول علي إيراد أعلي ما إذا دفع الحل المعروض إلي الركن الذي يمثل زيادة أكبر في استعمال أحد الموارد أو إنتاج أحد المتغيرات مع بقاء استعمال المورد الآخر وانتاج المنتج الآخر علي حاله.
ونعود إلي حالتنا السابقة التي وجدنا فيها أن كلاً من الحلين:
(A) 1X = 1500 ، 2X = 1400
(
1X = 3000 ، 2X = 1000
أفضل من الحل الأول المعروض هو (1X = 1500 ، 2X = 1000( .
وفي الحل المعروض (A) نجد انه بإمكاننا زيادة الإنتاج إلي أحد الأركان التي تمثل زيادة إنتاج 1X ، 2X سوياً وبالتالي زيادة في الأرباح الناتجة، وهذا الركن هو:
('A) 1X = 2000 ، 2X = 1750
وبالنسبة إلي الحل ( نجد انه يمكننا أن نزيد الإنتاج من المتغير 2X مع بقاء الإنتاج من 1X علي حاله وهذا الركن الأفضل هو:
('B) 1X = 3000 ، 2X = 1500
وطبيعي أن كلا من الحلين ('A) و ('B) أفضل من كلا من الحلين (A) و ( حيث أن كلاً من الحلين البديلين ( الذين يقعان في كل الأركان ) يمثلان زيادة في الإنتاج وبالتالي زيادة في الإيرادات والأرباح نتيجة ثبات صافي الربح بالنسبة إلي التغير في المتغيرات ( شرط العلاقة الخطية Condition ) ( Linearity. و باختصار فإن دراسة ومقارنة الحلول المعروضة سواء كانت بطريقة الرسم البياني أو بالطريقة الجبرية أو السمبلكس تختصر علي الحلول الركنية فقط حيث ان هذه الحلول تمثل افضل الحلول الممكنة للمشكلة.
إيجاد الحل البياني
Finding The Graphical Solution
بعد ان قررنا مقارنة ودراسة الحلول الركنية فقط لإيجاد الحل الأفضل علينا ان نوجد افضل الحلول الركنية وهو الذي سيمثل الحل الأفضل Optinun solution للمشكلة تحت الدراسة، وكل ما علينا في هذه المرحلة هو ان نقوم الإيرادات
( التكاليف ) الناتجة عند جميع الحلول الركنية لنختار الأفضل منها، و لعمل هذا علينا أن نقدر قيمة المتغيرات ( الإنتاج ) عند هذه الحلول الركنية وهي تقرر الفحص الرسم البياني رقم ( 6 ) كما يلي:
ارسم جدول ذو 3 صفوف
الحل الركني الأول
الحل الركني الثاني
الحل الركني الثالث
الحل الركني الرابع
الحل الركني الخامس
الحل الركني السادس
1X
______
صفر
صفر
2000
2750
3000
3000
2X
______
صفر
250
1750
1750
1500
صفر
وعلينا الآن أن نوجد الإيرادات الناتجة عند كل من هذه الحلول ويكون ذلك بالتعويض لكل من x1, x2 في الدالة الهدفية وهي:
20 X1 + 50 X2
وبالتعويض لكل من المتغيرين نجد أن الإيراد الناتج من جميع الحلول الركنية المعروضة كما يلي:
الإيراد الناتج عن
X1 + X2 = الكلي
الحل الركني الأول صفر + صفر = صفر
الحل الركني الثاني صفر + 12500 = 12500 ليرة
الحل الركني الثالث 40000 + 87500 = 142500 ليرة
الحل الركني الرابع 55000 + 87500 = 135000 ليرة
الحل الركني الخامس 60000 + 75000 = 135000 ليرة
الحل الركني السادس 60000 + صفر = 60000 ليرة
ومن الواضح أن الحل الرابع هو الحل الذي ينتج أفضل الإيرادات للمصنع وهو في نفس الوقت مستوفي لجميع الشروط التي حددناها في المشكلة, وقيمة هذا الحل هو:
X1 = 2750 , X2 = 1750
وللتأكد من أن الحل مستوفي لجميع الشروط والمقيدات علينا أن نقوم بالتعويض في المعادلات التي لدينا تمثل الشروط والمقيدات وهي:
(1-2) 3000 = X3+ X1
(2-2) 1750 = X4 + X2
(3-2) 2500 = X5 + X2 + X1 4/3 –
(4-2) 4500 = 6X + X2 + 1X
وبالتعويض لقيمة X1 و X2 في هذه المعادلات نجد أن
X3 = 250 , X4 = صفر , X5 = 26.5
6X = صفر
ويمكننا بالطبع الوصول إلى نفس النتيجة لو قمنا بتحريك الدالة الهدفية على جميع الحلول الركنية على الرسم البياني وإيجاد قيمة الدالة الهدفية عند كل من هذه الأركان وطبعاً سنختار أعلى القيم للدالة الهدفية الموجودة عند حلول الأركان.
منطقة الحلول العملية
مقدمة
يتميز الحال البياني لمشكلة البرمجة الخطية بالسهولة والوضوح والسرعة، إذ أننا بالنظر الرسم البياني الذي يتمثل فيه جميع الشروط والمغيرات يمكننا أن نجد الحلول المختلفة للمشكلة وان نقارن القيم التي تتخذها الدالة الهدفية في هذه الحلول، أو بمعني آخر نقارن الأرباح والإيرادات والتكاليف عند هذه الحلول المقارنة. إلا أنه يمكننا الحصول علي الحل البياني للمشكلة إلا إذا كان هناك متغيران أو ثلاثة علي أكثر تقدير حيث أننا من المستحيل رسم وتفهم رسم بياني ذو أربعة جوانب أساسية ( وهي متغيرات المشكلة لكل متغير جانب ). وبالطبع إذا ما زاد عدد المتغيرات ثلاثة فلدينا الطريقة الجبرية وكذلك طريقة السمبلكس Simplex Method.
ويحصل علي الحل البياني للمشكلة - بعد تكوينها في الشكل النهائي – علي ثلاث خطوات: الخطوة الأولي وهي عبارة عن تحديد منطقة الحلول العملية Feasible Region ، والخطوة الثانية وهي تحديد الحلول الأساسية في مشكلة، والخطوة الثالثة وهي إيجاد الحل البياني عن طريق تقييم الدالة الهدفية عند كل الحلول الأساسية.
تحديد منطقة الحلول العملية
Determining The Feasible Region
تتحدد منطقة الحلول العملية في مشكلة البرمجة الخطية علي أساس الناتج الصافي من جميع الشروط والمقيدات الموجودة في مشكلة والتي يجب أن يستوفيها أي حل لفرضه. ويعرف الحـل العملي بأنـه أي حل يستوفي جميع الشروط والمقيدات الموجودة في التكوين النهائي للمشكلة، أما الحلول غير العملية فهي الحلول التي لا تتقيد بشرط أو أكثر من الشروط أو أكثر من شروط المفروضة. فمثلاً لو عرض علينا حلاً يطلب فيه إنتاج 3500 خزانة معدنية فإن هذا الحل يعتبر حلاً غيرعملي حيث أنه يخالف الشرط الأول الذي ينص علي إنتاج خزائن معدنية (1x ) لا تزيد عن 3000 خزانة بأي حال من الأحوال (المعادلة رقم 1-2 ). وعلي نفس النمط نعتبر إنتـاج 2500 مكتباً معدنيـاً حلاً غير عملـي لمخالفـة للشرط الثانـي
( المعادلة رقم 2-2 ) والتي تحدد الحد الأقصي من المكاتب بعدد 1750 مكتب.
وتتحدد منطقة الحلول العملية إذا ما قمنا برسم جميع الشروط والمقيدات في رسم بياني. واحد كما يري في الشكل البياني رقم ( 1-6 ) ويلاحظ أنه في هذا الشكل قد قمنا بوضع جميع المقيدات والشروط – التي سبق وذكرتها في تكوين المشكلة وتحديدها – في رسـم بياني واحد يضمهم جميعاً. ومنطقة الحلول العملية هـي المنطقة التي تدخل في نطـاق جميع هذه الشروط والمقيدات ولا تتعداها، وهي المنطقة المظلة في الرسم البياني رقم ( 1-6 ). وأية نقطة من داخل هذه المنطقة تشمل علي إنتـاج عدد معين من الخزانات المعدنية وآخر من المكاتب المعدنية.
والنقطة رقم ( G ) تشتمل علي إنتاج 2000 خزنة معدنية، 1000 مكتب معدني، بينما النقطة ( F ) تشتمل علي 1500 خزانة معدنية و 750 مكتب معدني. وكلاً النقطتين تمثلان حلان عمليان حيث أنهما يستوفيان جميع الشروط المطلوبة في المشكلة. أما النقطة ( H ) فهي تمثل إنتاج 3000 خزانة معدنية و 2750
http://www7.0zz0.com/2008/06/14/16/408277144.jpg
مكتب معدني وهي تمثل حلاً غير عملي حيث أنها تخالف الشرط الثاني، والشرط الثالث والشرط الرابع الموجودين في المتباينات رقم ( 2-1 ). ( 3-1 ). ( 4-1 )
جميعاً.
ويجب أن يلاحظ أن تعريف الحل العملي يقتصر علي انه حل ممكن بمعني أنه مستوفي للشروط والمقيدات الموجودة في المشكلة، ولكن هذا لا يعني أنه الحل الأفضل إذ أن الحل الأفضل هو الحل الذي يعطي أعلي الإيرادات (أو أقل التكاليف)
من بين الحلول العملية الموجودة في منطقة الحلول العملية. وعلي سبيل المثال أن اتخاذ القرار الخاص بعدم إنتاج أيّة خزائن أو مكاتب معدنية (1 X= صفر، 2 X= صفر) هو حل عملي بالرغم من أنه لا يجلب أية إيراد علي الإطلاق، ولكن العمرة بأنه مستوفي للشرط والمقيدات الموجودة في المشكلة.
تحديد الحلول الأساسية
Determining The Basic Solutions
يعتبر حلاً أساسياً في مشكلة البرمجة الخطية أي حل تكون فيه عدد المتغيرات الإيجابية ( فوق الصفر ) مساوي لعدد الشروط الموجودة في المشكلة سواء كانت
الأساسية (1X ،2X) أو من المتغيرات الإضافية (3 X, 4X, 5X ،6X). وفي مشكلتنا هذه فإن الحل الأساسي هو أي حل نجد فيه عدد المتغيرات الإيجابية مساوي لأربعة ( حيث أنه لدينا أربعة شروط في كل مشكلة ) ويجب علينا أن ندرك أن جميع الحلول الأساسية يجب ان تكون حلولاً عملية في المشكلة، إلا أن العكس غير صحيح، حيث أنه هناك عديد من الحلول العملية التي لا تدخل في نطاق الحلول الأساسية. فعلي سبيل المثال فإن الحل التالي يعد حلاً عملياً حيث أنه يقع في المنطقة العملية.
1X = 800 ، 2X = صفر
3X = 2200 ، 4X = 1750
5X = 350 ، 6X = 3700
ولكن هذا الحل لا يستوفي شرط الحلول الأساسية حيث أنه لدينا خمس متغيرات بقيمة ايجابية ( فوق الصفر ) بينما ان عدد الشروط في المشكلة أربعة فقط كما سبق وذكرنا، وعلي هذا فإن الحل العملي المذكور آنفاً لا يعد حلاً أساسياً.أما بالنسبة للحل.
1X = 2000 ، 2X = 1750
3X = 1000 ، 4X = صفر
5X = صفر ، 6X = 750
فهو يعد حلاً عملياً وأساسياً في الوقت نفسه حيث أن عدد المتغيرات الإيجابية ( غير الصفرية ) مسار لعدد الشروط المذكورة في المشكلة.
وأهمية ذكر وتعريف الحلول الأساسية ترجع إلي أثرها الكبير علي عدد الحلول التي يجب فحصها ودراستها حتى نصل إلـي الحل الأفضل سواء كان هذا في الطريقة البيانية أو الجبرية أو الطريقة السمبلكس. فالواقع أن الحلول الأساسية هي الحلول ركنية Corner Solutions بـمعني أنها تمثل حلولاً تقع في الأركـان الموجودة في منطقة الحلول العملية. والركن في هذه الحالة هو المكان الذي يقع في مخصص الحلول العملية ويتقابل فيه خطان يمثلان شرطين مـن شروط الحـل المطلوبة في المشكلة(1). وميزة هذه الحلول الأساسية التي تقع في الأركان المختلفة هي أنها تمثل أفضل الحلول الممكنة فـي المشكلة تحت الدراسة، وبـالتالي فإن اهتمامنا ينحصر فـي الحلول الركنية فقط وعلي ذلك نحاول تقييم الإيرادات ( أو التكاليف ) في كل هذه الأركان لنختار الحل الأفضل فيما بينها. وحيث أن الحلول الركنية هي أفضل الحلول المعروضة التي يمكن اختيارها فإن الحل الأفضل للدالة الهدفية المختار من الحلول الركنية سيكون أفضل الحلول جمعاء.
بقي الآن أن نعرف لماذا نؤكد أن الحلول الركنية تمثل أفضل مجموعة من الحلول الممكنة، واثباث هذه النقطة أمر من التعقيد بمكان إلا أنه يمكن مناقشتها من الناحية المنطقية علي مرحلتين: المرحلة الأولـي وهي أن حل في داخـل المنطقة العملية وليس علي احد الخطوط المقيدة ( التي تمثل الشروط في المشكلة ) يمكن ان نجد له حلاً أفضل يقع علي أحد الخطوط المقيدة.
و منطق هذه العملية بسيط حيث أن شرط العائـد الثابت علي المتغيرات والمـواد ويجعل من الواجب دائماً دفع الحل المقترح إلي الحد الأقصى الذي يستعمل فيه كلاً من المتغيرين. أو أحدهما الطاقة الكاملة له وبالتالي الحصول علي عائد أفضل.
فمثلاً لو قمنا بدراسة الحل 1X = 2500 ، 2X = 1000 وهو فـي منطقة الحلول العملية إلا أنه ليس علي أحد الخطوط المقيدة لوجدنا أنه من الأفضل دفع هذا الحل إما إلي فوق بزيادة 2X من 1000 إلي 1400 مع بقاء 1X علي حاله، واما إلي اليمين بزيادة 2X إلي 3000 مع بقاء 1X علي حاله – وبالطبع فإن أي من المذكورين يعد أفضل من الحل الأصلي المعروض والذي ليس علي أحد الخطوط المقيدة حيث ان أية زيادة في 1X أو2X مع بقاء الآخر علية حالة زيادة الإيراد، وبالتالي: فإن الحل البديل أفضل من الحل الأصلي.
والمرحلة الثانية هي أنه لأي حل موجود علي أحد الخطوط المقيدة والمحددة لمنطقة الحل العملي يوجد حل ركني أفضل منه من أو مماثل له.
و الأساس في هذه النقطة هو أيضاً في فرض ثبات الإيراد الناتج عن استعمال الموارد أو الإنتاج في حالتنا هذه، وبالتالي يمكن دفع الحل علي هذا الخط لاستعمال احد الموارد أو المتغيرات استعمالاً أكبر وبالتالي الحصول علي إيراد أعلي ما إذا دفع الحل المعروض إلي الركن الذي يمثل زيادة أكبر في استعمال أحد الموارد أو إنتاج أحد المتغيرات مع بقاء استعمال المورد الآخر وانتاج المنتج الآخر علي حاله.
ونعود إلي حالتنا السابقة التي وجدنا فيها أن كلاً من الحلين:
(A) 1X = 1500 ، 2X = 1400
(
1X = 3000 ، 2X = 1000أفضل من الحل الأول المعروض هو (1X = 1500 ، 2X = 1000( .
وفي الحل المعروض (A) نجد انه بإمكاننا زيادة الإنتاج إلي أحد الأركان التي تمثل زيادة إنتاج 1X ، 2X سوياً وبالتالي زيادة في الأرباح الناتجة، وهذا الركن هو:
('A) 1X = 2000 ، 2X = 1750
وبالنسبة إلي الحل (
نجد انه يمكننا أن نزيد الإنتاج من المتغير 2X مع بقاء الإنتاج من 1X علي حاله وهذا الركن الأفضل هو:('B) 1X = 3000 ، 2X = 1500
وطبيعي أن كلا من الحلين ('A) و ('B) أفضل من كلا من الحلين (A) و (
حيث أن كلاً من الحلين البديلين ( الذين يقعان في كل الأركان ) يمثلان زيادة في الإنتاج وبالتالي زيادة في الإيرادات والأرباح نتيجة ثبات صافي الربح بالنسبة إلي التغير في المتغيرات ( شرط العلاقة الخطية Condition ) ( Linearity. و باختصار فإن دراسة ومقارنة الحلول المعروضة سواء كانت بطريقة الرسم البياني أو بالطريقة الجبرية أو السمبلكس تختصر علي الحلول الركنية فقط حيث ان هذه الحلول تمثل افضل الحلول الممكنة للمشكلة.إيجاد الحل البياني
Finding The Graphical Solution
بعد ان قررنا مقارنة ودراسة الحلول الركنية فقط لإيجاد الحل الأفضل علينا ان نوجد افضل الحلول الركنية وهو الذي سيمثل الحل الأفضل Optinun solution للمشكلة تحت الدراسة، وكل ما علينا في هذه المرحلة هو ان نقوم الإيرادات
( التكاليف ) الناتجة عند جميع الحلول الركنية لنختار الأفضل منها، و لعمل هذا علينا أن نقدر قيمة المتغيرات ( الإنتاج ) عند هذه الحلول الركنية وهي تقرر الفحص الرسم البياني رقم ( 6 ) كما يلي:
ارسم جدول ذو 3 صفوف
الحل الركني الأول
الحل الركني الثاني
الحل الركني الثالث
الحل الركني الرابع
الحل الركني الخامس
الحل الركني السادس
1X
______
صفر
صفر
2000
2750
3000
3000
2X
______
صفر
250
1750
1750
1500
صفر
وعلينا الآن أن نوجد الإيرادات الناتجة عند كل من هذه الحلول ويكون ذلك بالتعويض لكل من x1, x2 في الدالة الهدفية وهي:
20 X1 + 50 X2
وبالتعويض لكل من المتغيرين نجد أن الإيراد الناتج من جميع الحلول الركنية المعروضة كما يلي:
الإيراد الناتج عن
X1 + X2 = الكلي
الحل الركني الأول صفر + صفر = صفر
الحل الركني الثاني صفر + 12500 = 12500 ليرة
الحل الركني الثالث 40000 + 87500 = 142500 ليرة
الحل الركني الرابع 55000 + 87500 = 135000 ليرة
الحل الركني الخامس 60000 + 75000 = 135000 ليرة
الحل الركني السادس 60000 + صفر = 60000 ليرة
ومن الواضح أن الحل الرابع هو الحل الذي ينتج أفضل الإيرادات للمصنع وهو في نفس الوقت مستوفي لجميع الشروط التي حددناها في المشكلة, وقيمة هذا الحل هو:
X1 = 2750 , X2 = 1750
وللتأكد من أن الحل مستوفي لجميع الشروط والمقيدات علينا أن نقوم بالتعويض في المعادلات التي لدينا تمثل الشروط والمقيدات وهي:
(1-2) 3000 = X3+ X1
(2-2) 1750 = X4 + X2
(3-2) 2500 = X5 + X2 + X1 4/3 –
(4-2) 4500 = 6X + X2 + 1X
وبالتعويض لقيمة X1 و X2 في هذه المعادلات نجد أن
X3 = 250 , X4 = صفر , X5 = 26.5
6X = صفر
ويمكننا بالطبع الوصول إلى نفس النتيجة لو قمنا بتحريك الدالة الهدفية على جميع الحلول الركنية على الرسم البياني وإيجاد قيمة الدالة الهدفية عند كل من هذه الأركان وطبعاً سنختار أعلى القيم للدالة الهدفية الموجودة عند حلول الأركان.
