تويت
في الفيزياء النيوتونية، السقوط الحر هو أي حركة للجسم حيث الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة عليه. في سياق النسبية العامة، حيث يتم تقليل الجاذبية إلى انحناء الزمكان، فإن الجسم في حالة السقوط الحر ليس له قوة تؤثر عليه.
قد لا يكون الشيء بالمعنى التقني لمصطلح “السقوط الحر” ينهار بالضرورة بالمعنى المعتاد للمصطلح. قد لا يُعتبر الجسم الذي يتحرك إلى أعلى على أنه ساقط، ولكن إذا كان يخضع لقوة الجاذبية فقط، فيُقال إنه في حالة سقوط حر. وهكذا يسقط القمر بحرية حول الأرض، على الرغم من أن سرعته المدارية تبقيه في مدار بعيد جدًا عن سطح الأرض.
في مجال جاذبية موحد تقريبًا، في حالة عدم وجود أي قوى أخرى، تعمل الجاذبية على كل جزء من أجزاء الجسم بشكل متساوٍ تقريبًا. عندما لا تكون هناك قوة طبيعية تمارس بين جسم (مثل رائد فضاء في المدار) والأجسام المحيطة به، فسيؤدي ذلك إلى الإحساس بانعدام الوزن، وهي حالة تحدث أيضًا عندما يكون مجال الجاذبية ضعيفًا (مثل عندما يكون بعيدًا عن أي مصدر الجاذبية).
غالبًا ما يستخدم مصطلح “السقوط الحر” بشكل فضفاض أكثر من المعنى الدقيق المحدد أعلاه. وبالتالي، فإن السقوط عبر الغلاف الجوي بدون مظلة منتشرة، أو جهاز رفع، يُشار إليه أيضًا في كثير من الأحيان بالسقوط الحر. تمنع قوى السحب الديناميكي الهوائي في مثل هذه الحالات من إنتاج انعدام الوزن الكامل، وبالتالي فإن “السقوط الحر” للقافز بالمظلات بعد الوصول إلى السرعة النهائية ينتج إحساسًا بوزن الجسم المدعوم على وسادة من الهواء.
أمثلة
تتضمن أمثلة الأشياء في السقوط الحر ما يلي:
- مركبة فضائية (في الفضاء) بدفعها متوقف (على سبيل المثال في مدار مستمر، أو في مسار دون مداري (المقذوفات) تصعد لبضع دقائق، ثم تنخفض).
- سقوط جسم في الجزء العلوي من أنبوب إسقاط.
- جسم مُلقى لأعلى أو شخص يقفز من الأرض بسرعة منخفضة (أي طالما أن مقاومة الهواء لا تذكر مقارنة بالوزن).
من الناحية الفنية، يكون الجسم في حالة سقوط حر حتى عند التحرك لأعلى أو في حالة السكون لحظية في الجزء العلوي من حركته. إذا كانت الجاذبية هي التأثير الوحيد المؤثر، فحينئذٍ يكون التسارع دائمًا لأسفل وله نفس المقدار لجميع الأجسام، ويُشار إليه عمومًا بـ g.
نظرًا لأن جميع الكائنات تسقط بنفس المعدل في حالة عدم وجود قوى أخرى، فإن الأشياء والأشخاص سوف يعانون من انعدام الوزن في هذه المواقف.
أمثلة على أشياء ليست في حالة سقوط حر:
- التحليق في الطائرة: هناك أيضًا قوة رفع إضافية.
- الوقوف على الأرض: يتم مواجهة قوة الجاذبية بالقوة العادية الآتية من الأرض.
- النزول إلى الأرض باستخدام المظلة، والذي يوازن بين قوة الجاذبية وقوة السحب الديناميكي الهوائي (ومع بعض المظلات، قوة رفع إضافية).
لا يعتبر مثال لاعب القفز المظلي الساقط الذي لم ينشر مظلة بعد سقوطًا حرًا من منظور فيزيائي، نظرًا لأنهم يتعرضون لقوة سحب تساوي وزنهم بمجرد تحقيق السرعة النهائية (انظر أدناه).
، حيث h هو الارتفاع و g هو تسارع السقوط الحر بسبب الجاذبية.
بالقرب من سطح الأرض، سيتسارع جسم في حالة سقوط حر في فراغ بسرعة 9.8m/s2 تقريبًا، بغض النظر عن كتلته. مع تأثير مقاومة الهواء على جسم تم إسقاطه، سيصل الجسم في النهاية إلى السرعة النهائية، والتي تبلغ حوالي 53m/s ( 190 km/h او 118 mph) لقافز مظلي بشري. تعتمد السرعة النهائية على العديد من العوامل بما في ذلك الكتلة ومعامل السحب ومساحة السطح النسبية ولن تتحقق إلا إذا كان السقوط من ارتفاع كافٍ. سيصل لاعب القفز المظلي النموذجي في وضع النسر المنتشر إلى السرعة النهائية بعد حوالي 12 ثانية، وخلال هذه الفترة يكون قد سقط حوالي 450 مترًا (1500 قدم).
تم عرض السقوط الحر على القمر من قبل رائد الفضاء ديفيد سكوت في 2 أغسطس 1971. أطلق في نفس الوقت مطرقة وريشة من نفس الارتفاع فوق سطح القمر. سقطت المطرقة والريشة بنفس المعدل وضربت السطح في نفس الوقت. أظهر هذا اكتشاف جاليليو أنه في حالة عدم وجود مقاومة للهواء، فإن كل الأجسام تتعرض لنفس التسارع بسبب الجاذبية. ومع ذلك، فإن تسارع الجاذبية على القمر يبلغ 1.63m/s2 تقريبًا، أو حوالي 1⁄6 من تسارع الجاذبية على الأرض.
السقوط الحر في ميكانيكا نيوتن
مجال جاذبية موحد بدون مقاومة الهواء
هذه هي الحالة “الكتابية” للحركة الرأسية لجسم يسقط على مسافة صغيرة قريبة من سطح كوكب. إنه تقريب جيد في الهواء طالما أن قوة الجاذبية على الجسم أكبر بكثير من قوة مقاومة الهواء، أو بالمقابل تكون سرعة الجسم دائمًا أقل بكثير من السرعة النهائية (انظر أدناه).
السقوط الحر
أين
- V0، هي السرعة الابتدائية (m/s).
- V(t)،هي السرعة العمودية بالنسبة للوقت (m/s).
- y0هو الارتفاع الأولي (m).
- Y(t)، هو الارتفاع بالنسبة للوقت (m).
- t هو الوقت المنقضي.
- g هي عجلة الجاذبية (9.81m/s2 بالقرب من سطح الأرض).
هذه الحالة، التي تنطبق على القفز بالمظلات أو المظليين أو أي جسم ذي كتلة، m، ومنطقة المقطع العرضي، A، مع رقم رينولدز أعلى بكثير من رقم رينولدز الحرج، بحيث تكون مقاومة الهواء متناسبة مع مربع سرعة السقوط، v، لها معادلة الحركة
حيث ρ هي كثافة الهواء و CD هي معامل السحب، يفترض أنها ثابتة على الرغم من أنها تعتمد بشكل عام على رقم رينولدز.
بافتراض سقوط جسم من السكون وعدم حدوث تغيير في كثافة الهواء مع الارتفاع، فإن الحل هو:
حيث يتم إعطاء السرعة النهائية بواسطة
يمكن دمج سرعة الكائن مقابل الوقت بمرور الوقت للعثور على الوضع الرأسي كدالة للوقت:
باستخدام الرقم 56m/s للسرعة النهائية للإنسان، يجد المرء أنه بعد 10 ثوانٍ سيكون قد هبط 348 مترًا ووصل إلى 94٪ من السرعة النهائية، وبعد 12 ثانية سيكون قد هبط 455 مترًا وسيصل إلى 97٪ من السرعة النهائية. ومع ذلك، عندما لا يمكن افتراض أن كثافة الهواء ثابتة، كما هو الحال بالنسبة للأجسام التي تسقط من علو شاهق، يصبح حل معادلة الحركة أكثر صعوبة في الحل التحليلي وعادة ما تكون المحاكاة العددية للحركة ضرورية. يوضح الشكل القوى المؤثرة على النيازك المتساقطة عبر الغلاف الجوي العلوي للأرض. قفزات HALO (High-altitude military parachuting)، بما في ذلك قفزات Joe Kittinger’s و Felix Baumgartner القياسية، تنتمي أيضًا إلى هذه الفئة.
قانون التربيع العكسي مجال الجاذبية
يمكن القول أن جسمين في الفضاء يدوران حول بعضهما البعض في حالة عدم وجود قوى أخرى في حالة سقوط حر حول بعضهما البعض، على سبيل المثال أن القمر أو قمر صناعي صناعي “يسقط” حول الأرض، أو أن كوكبًا “يسقط” حول الشمس. إن افتراض الأجسام الكروية يعني أن معادلة الحركة محكومة بقانون الجاذبية الكونية لنيوتن، مع حلول لمشكلة الجاذبية ثنائية الجسم كونها مدارات إهليلجية تخضع لقوانين كبلر لحركة الكواكب. هذه العلاقة بين الأجسام المتساقطة بالقرب من الأرض والأجسام التي تدور في مدارات يمكن توضيحها بشكل أفضل من خلال التجربة الفكرية، كرة نيوتن المدفعية.
يمكن اعتبار حركة جسمين يتحركان شعاعيًا تجاه بعضهما البعض بدون زخم زاوي حالة خاصة لمدار إهليلجي من الانحراف e = 1 (مسار إهليلجي شعاعي). هذا يسمح للشخص بحساب وقت السقوط الحر لكائنات نقطتين على مسار شعاعي. ينتج عن حل معادلة الحركة الوقت كدالة للفصل:
أين
- t هو الوقت بعد بداية الخريف
- y هي المسافة بين مراكز الجسمين
- y0 هي القيمة الأولية لـ y
- μ = G(m1 + m2) هي معلمة الجاذبية القياسية.
استبدال y = 0 نحصل على وقت السقوط الحر.
يتم الحصول على الفصل كدالة للوقت بواسطة معكوس المعادلة. يتم تمثيل المعكوس بالضبط بواسطة سلسلة القدرة التحليلية:
تقييم هذا العائد:
أين
السقوط الحر في النسبية العامة
في النسبية العامة، الكائن في السقوط الحر لا يخضع لأي قوة وهو جسم بالقصور الذاتي يتحرك على طول الجيوديسية. بعيدًا عن أي مصادر لانحناء الزمكان، حيث يكون الزمكان مسطحًا، تتفق نظرية نيوتن للسقوط الحر مع النسبية العامة. وإلا فإن الاثنين يختلفان. على سبيل المثال، يمكن فقط للنسبية العامة أن تفسر حركة المدارات، والانحلال المداري أو الملهم للثنائيات المدمجة بسبب موجات الجاذبية، ونسبية الاتجاه (المبادرة الجيوديسية وسحب الإطار).
الملاحظة التجريبية بأن جميع الأجسام في السقوط الحر تتسارع بنفس المعدل، كما لاحظ جاليليو ثم تجسدها في نظرية نيوتن كمساواة بين كتل الجاذبية والقصور الذاتي، والتي تم تأكيدها لاحقًا بالدقة العالية بواسطة الأشكال الحديثة لتجربة Eötvös، هي أساس مبدأ التكافؤ، الذي انطلقت منه نظرية النسبية العامة لأينشتاين في البداية.
حركة السقوط الحر (حركة أحادية البعد مع تسارع ثابت)
كما ذكرنا سابقًا، يمكننا استخدام المعادلات الحركية لدراسة حركة السقوط الحر للأجسام. بما أن السقوط الحر حركة أحادية البعد في الاتجاه العمودي، من أجل الوضوح والتمثيل الأفضل، نضع الرمز y بدلاً من x وثابت الجاذبية تسارع g بدلاً من a في المعادلات. مرة أخرى، إذا كنت تعتبر الاتجاه أعلاه إيجابيًا، فاستخدم g بشكل سلبي في المعادلات. في قضايا هذه المقالة، نعتبر الاتجاه أعلاه إيجابيًا.
باتباع ما سبق، فإن المعادلات الحركية للحركة أحادية البعد مع تسارع ثابت في الاتجاه العمودي (مسائل حركة السقوط الحر) هي كما يلي (الاتجاه التصاعدي مفترض ايجابيا):
- y – y0 = ½gt2 + v0t
- v = −gt + v0
- v2 – v02 = -2g(y – y0)
مثال 1
لنفترض أنك تقف على قمة تل وأنزلت صخرة. بعد ثانية واحدة، ما المسافة التي يقطعها الحجر؟ بعد هذا الوقت، ما هي سرعة الصخرة؟
لحل هذه المشكلة، نعتبر الاتجاه التصاعدي موجبًا. نتيجة لذلك، نضع عجلة الجاذبية الثابتة g مع إشارة سالبة في المعادلات. نعتبر أيضًا المكان الذي تُرك فيه الحجر ليكون 0؛ أي أن الموقع الأولي للصخرة عند النقطة 0 هو محور الإحداثيات (y0 = 0). لاحظ أيضًا أن إسقاط جسم ما يمثل سقوطه بدون سرعة ابتدائية. إذن هنا v0 = 0 ونتيجة لذلك لدينا المعادلة (1):
Y – y0 = -1/2gt2 + v0t ⇒ y = -1/2gt2 = −1/2 × 9.81 × 12 = −4.9m
في الواقع، الإزاحة التي يقطعها الصخرة △y = y – y0 = −4.9m والمسافة المقطوعة هي 4.9m. نستخدم أيضًا المعادلة (2) للحصول على السرعة بعد ثانية واحدة.
v = – gt + v0 ⇒ v = −gt = −9.8 × 1 = −9.89.ms
ذكرنا أن السقوط الحر هو حركة أحادية البعد مع تسارع ثابت g = 9.8m/s2. أي وفقًا لمفهوم التسارع، مع كل ثانية تمر، تزيد قيمة 9.8m/s2 من سرعة الجسم. هنا، حيث السرعة الابتدائية تساوي صفرًا، في نهاية الثانية الأولى، تتم إضافة 9.8m/s2 إلى سرعة الصخرة.
افترض الآن أن ارتفاعك 10 أمتار فوق سطح الأرض. في هذه الحالة، ما سرعة الصخرة عندما تصطدم بالأرض؟ ما هو الوقت الذي يستغرقه هذا الخريف (وقت إطلاق سراح التصادم)؟
للحصول على سرعة الصخور عندما تضرب الأرض، نستخدم المعادلة (3).
V2 – v02 = −2g(y – y0) ⇒ v2 = −2g2y = −2 × 9.8 × −10 ⇒ v = ±14ms
لاحظ أنه نظرًا لأننا حددنا الاتجاه العلوي بأنه موجب ونقطة انطلاق الصخرة على أنها 0 إحداثيات، فقد حددنا ارتفاع الارتفاع سلبًا في المعادلة. لاحظ أنه إذا وضعنا الارتفاع بشكل إيجابي في المعادلة، فإن نتيجة تعبير القوة ستكون حقيقتين سلبيتين، وهو أمر غير مقبول. أيضًا، نظرًا لأننا اعتبرنا الاتجاه أعلاه موجبًا، فإن الإشارة السالبة (v = – 14m/s) مقبولة لسرعة الجسم عند الاصطدام.
للحصول على الوقت الإجمالي، أي الوقت الذي يستغرقه سقوط الصخرة وضرب الأرض، يمكننا استخدام المعادلتين (1) و (2) على النحو التالي:
Y – y0 = -1/2gt2 + v0 ⇒ −10 = -1/2 × 9.8 × t2 ⇒ t2 ≅ 2 → t ≅ 1.4s
V = −gt + v0 ⇒v = −gt → −14 = −9.8t → t ≅ 1.4s
مثال 2
نرمي الكرة لأعلى (بشكل مستقيم) بسرعة ابتدائية 20m/s. بعد بضع ثوان، هل تصل الكرة إلى أعلى ارتفاع ممكن؟ ما هذا الارتفاع؟ (g = 10m/s2)
هنا أيضًا، نعتبر أن الحركة الصعودية موجبة ونقطة الإسقاط هي إحداثيات 0. لذلك في لحظة الإطلاق (h0 = 0) و (v0 = 20m/s) ونتيجة لذلك لدينا :
V = −gt + v0 ⇒ 0 = −10t + 20 → t = 2s
لاحظ أنه عند أعلى ارتفاع ممكن، تكون سرعة الجسم صفرًا. في الواقع، من خلال رمي جسم ما لأعلى، تنخفض سرعته تدريجيًا وتصل إلى الصفر عند أعلى ارتفاع ممكن، وعند هذه النقطة تتغير علامة السرعة وتزيد من سرعتها عندما تسقط. للحصول على أعلى ارتفاع ممكن، لدينا :
Y – y0 = 12gt2 + v0t ⇒ y = −12 × 10 × 22 + 20 × 2 → y = 20m
الآن احسب المدة التي تستغرقها الكرة للوصول إلى نقطة رميها. ما سرعة الكرة وهي تتجاوز نقطة القذف؟
عندما تصل الكرة إلى نقطة الرمي، y = 0 ولدينا:
Y – y0 = -1/2gt2 + v0t ⇒ 0 = −1/2 × 10 × t2 + 20 × t → t(−5t + 20) = 0 → t = 0s , 4s
الوقت t = 0s هو وقت الرمي و t = 4s هو الوقت الذي تستغرقه الكرة للعودة إلى نقطة الرمي. تكون سرعة الكرة عند هذه النقطة عند رجوعها من أعلى نقطة كما يلي :
v = −gt + v0 ⇒ v = −10 × 4 + 20 → v = −20ms
مثال 3
من أعلى الجسر إلى ارتفاع 50m، نرمي الحجر لأعلى بسرعة ابتدائية v0 = 15m. احسب المدة التي تستغرقها الصخور لتصل إلى الأرض.
هنا مرة أخرى نعتبر الحركة الصعودية موجبة ونقطة الرمي مثل إحداثيات الصفر (h0 = 0). لذلك عندما تضرب الصخرة الأرض، أي أسفل الجسر، h = -50m نتيجة لذلك لدينا:
y – y0 = – 1/2gt2 + v0t ⇒ −50 = −1/2 × 10 × t2 + 15t → t = −2s , 5s
يبدأ الإطلاق عند t = 0s وبالتالي فإن الاستجابة t = 5s مقبولة.
مثال 4
فكر في صاروخ صغير مع “قاذفة” (Booster). يتم فصل القاذفة عن الصاروخ على ارتفاع 5 كم فوق سطح الأرض وبسرعة 200m/s. ما أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه المشغل؟ (تجاهل مقاومة الهواء.)
صورة
للإجابة على هذا السؤال، يمكننا أن نفترض أن المشغل قد تم إطلاقه بسرعة ابتدائية v0 = 200m/s. نأخذ في الاعتبار أيضًا نقطة الإطلاق (في الواقع نقطة الانفصال عن الصاروخ) على ارتفاع h0 = 0. تذكر أيضًا أن السرعة عند أعلى ارتفاع تساوي صفرًا. نتيجة:
V2 – v02 = −2g(y – y0) ⇒ 2002 = −2 × 9.8(y) → y = 2040.8m ≅ 2km
توضح العلاقة أعلاه أن قاذفة الإطلاق هي 2km فوق نقطة الإطلاق (انفصال عن الصاروخ على ارتفاع 5 كيلومترات) ونتيجة لذلك يبلغ أقصى ارتفاع ممكن من الأرض 7 ميكرومتر.
مثال 5
أسقط شيئًا من ارتفاع 200 متر (v0 = 0ms). بعد كم ثانية يصطدم الجسم بالأرض؟ ما مقدار إزاح الجسم بين t = 5s و t = 6s؟
بما أن الجسم قد هجر، فليس له سرعة ابتدائية. نعتبر أيضًا أن الحركة الصعودية موجبة (أي أن g بعلامة سالبة) ونقطة الهبوط هي إحداثيات صفرية. نتيجة للمعادلة (1) لدينا:
y – y0 = -1/2gt2 + v0t ⇒ 200 = −1/2 × 9.8 × t2 → t ≅ 6.38s
للإجابة على الجزء الثاني من السؤال، نستخدم المعادلة (1).
y – y0 = – 1/2gt2 + v0t ⇒ y = −1/2 × 9.8 × 52 = −122.5m
Y – y0 = -1/2gt2 + v0t ⇒ y = −1/2 × 9.8 × 62 = −176.4m
يتم حساب إزاحة الجسم في الفترة بين t = 5s و t = 6s على النحو التالي y = y2 – y1. نتيجة لذلك لدينا:
y = y2 − y1 = −176.4m − (−122.5m) = −53.9m
مثال 6
نرمي الكرة لأسفل من أعلى مبنى بارتفاع 98 مترًا بسرعة ابتدائية v0 = 4.9 ميكرون. بعد بضع ثوان، ما مدى سرعة الكرة في ضرب الأرض؟
كما في الأمثلة السابقة، نعتبر أن القمة موجبة ونقطة الإسقاط تساوي صفرًا. إشارة السرعة سلبية أيضًا (لأسفل). يتبع من المعادلة (1):
Y – y0 = 1/2gt2 + v0t ⇒ −98 = −1/2 × 9.8 × t2 – 4.9t → t2 + t − 20 = 0 ⇒ t = 4s , −5s
من الواضح أن الإجابة t = 4s مقبولة. لحساب السرعة عند الاصطدام من المعادلة (2) لدينا:
V = gt + v0 = −9.8 × 4 – 4.9 = −44.1ms
