تويت
في الفيزياء (على وجه التحديد في الكهرومغناطيسية) قوة لورنتز (أو القوة الكهرومغناطيسية) هي مزيج من القوة الكهربائية والمغناطيسية على شحنة نقطية بسبب المجالات الكهرومغناطيسية. جسيم شحنة q يتحرك بسرعة v في مجال كهربائي E ومجال مغناطيسي B يختبر قوة:
قوة لورنتز تعمل على الجسيمات المشحونة سريعة الحركة في غرفة الفقاعة. منحنى مسارات الشحن الموجب والسالب في اتجاهين متعاكسين.
]\ {\\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} } [\
تقول أن القوة الكهرومغناطيسية على الشحنة q هي مزيج من قوة في اتجاه المجال الكهربائي E تتناسب مع حجم المجال وكمية الشحنة، وقوة بزوايا قائمة مع المجال المغناطيسي B و السرعة v للشحنة متناسبة مع حجم المجال والشحنة والسرعة. تصف الاختلافات في هذه الصيغة الأساسية القوة المغناطيسية على سلك يحمل التيار (تسمى أحيانًا قوة لابلاس)، والقوة الدافعة الكهربائية في حلقة سلكية تتحرك عبر مجال مغناطيسي (أحد جوانب قانون فاراداي للحث)، والقوة المؤثرة على متحرك جزيء مشحون.
يشير المؤرخون إلى أن القانون مضمن في ورقة كتبها جيمس كليرك ماكسويل، نُشرت عام 1865.
وصل هندريك لورنتز إلى اشتقاق كامل في عام 1895، وحدد مساهمة القوة الكهربائية بعد سنوات قليلة من تحديد أوليفر هيفيسايد بشكل صحيح مساهمة القوة المغناطيسية.
قانون لورنتز على اساس E و B
الجسيمات المشحونة التي تعاني من قوة لورنتز:
الصورة: مسار جسيم ذي شحنة موجبة أو سالبة q تحت تأثير المجال المغناطيسي B، والذي يتم توجيهه عموديًا خارج الشاشة.
الصورة: شعاع من الإلكترونات يتحرك في دائرة بسبب وجود مجال مغناطيسي. يتم إنشاء الضوء الأرجواني الذي يكشف عن مسار الإلكترون في أنبوب Teltron هذا عن طريق اصطدام الإلكترونات بجزيئات الغاز.
في العديد من معالجات الكتب المدرسية للكهرومغناطيسية الكلاسيكية، يتم استخدام قانون قوة لورنتز كتعريف للحقول الكهربائية والمغناطيسية E و B. لكي تكون محددًا، من المفهوم أن قوة لورنتز هي البيان التجريبي التالي:
القوة الكهرومغناطيسية F على شحنة اختبار عند نقطة ووقت معينين هي دالة معينة لشحنتها q والسرعة v، والتي يمكن تحديد معلماتها بواسطة متجهين E و B بالضبط، في الشكل الدالي :
]\ {\ \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} [\
هذا صحيح، حتى بالنسبة للجسيمات التي تقترب من سرعة الضوء (أي حجم v، | v | ≈ c). وبالتالي، يتم تحديد حقلي المتجهين E و B عبر المكان والزمان، ويطلق عليهما “المجال الكهربائي” و “المجال المغناطيسي”. يتم تحديد الحقول في كل مكان في المكان والزمان فيما يتعلق بالقوة التي ستتلقاها شحنة الاختبار بغض النظر عما إذا كانت الشحنة موجودة لتجربة القوة.
كتعريف لـ E و B، فإن قوة لورنتز هي مجرد تعريف من حيث المبدأ لأن الجسيم الحقيقي (على عكس “شحنة الاختبار” الافتراضية للكتلة والشحنة اللانهائية متناهية الصغر) من شأنه أن يولد حقلي E و B المحدودين من شأنه أن يغير القوة الكهرومغناطيسية التي تتعرض لها. بالإضافة إلى ذلك، إذا تعرضت الشحنة للتسارع، كما لو أُجبرت على مسار منحني، فإنها تبعث إشعاعًا يجعلها تفقد الطاقة الحركية. انظر على سبيل المثال أشعة انكباح و إشعاع سنكروتروني. تحدث هذه التأثيرات من خلال تأثير مباشر (يسمى قوة رد فعل الإشعاع) وبشكل غير مباشر (من خلال التأثير على حركة الشحنات والتيارات القريبة).
معادلة
جزيء مشحون
قوة لورنتز F على جسيم مشحون (شحنة q) في الحركة (السرعة اللحظية v). يختلف المجال E و B في المكان والزمان.
تُعطى القوة F المؤثرة على جسيم من الشحنة الكهربائية q بسرعة لحظية v، بسبب مجال كهربائي خارجي E والمجال المغناطيسي B، من خلال:
]\ {\ \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)} [\
أين × هو المنتج المتجهي المتجه (جميع الكميات ذات الخط الغامق عبارة عن متجهات). من حيث المكونات الديكارتية، لدينا:
]\ {\ \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)} [\
بشكل عام، المجالات الكهربائية والمغناطيسية هي دوال الموقع والوقت. لذلك، بشكل صريح، يمكن كتابة قوة لورنتز على النحو التالي:
]\ {\ F_{x}=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),} [\
]\ {\ F_{y}=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),} [\
]\ {\ F_{z}=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).} [\
بشكل عام، المجالات الكهربائية والمغناطيسية هي وظائف الموقع والوقت. لذلك، بشكل صريح، يمكن كتابة قوة لورنتز على النحو التالي:
]\ { \mathbf {F} \left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t,q\right) = q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t) + {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]} [\
حيث r هو متجه الموضع للجسيم المشحون، و t هو الوقت، والنقطة الزائدة هي مشتق زمني.
سيتم تسريع الجسيم المشحون إيجابياً في نفس الاتجاه الخطي مثل الحقل E، ولكنه سينحني عموديًا على كل من متجه السرعة اللحظية v والمجال B وفقًا لقاعدة اليد اليمنى (بالتفصيل، إذا كانت أصابع اليد اليمنى يتم تمديدها للإشارة إلى اتجاه v ثم يتم لفها للإشارة في اتجاه B، ثم يشير الإبهام الممتد في اتجاه F).
يُطلق على المصطلح qE القوة الكهربائية، بينما يُطلق على المصطلح q (v × B) القوة المغناطيسية. وفقًا لبعض التعريفات، يشير مصطلح “قوة لورنتز” تحديدًا إلى صيغة القوة المغناطيسية، مع إعطاء القوة الكهرومغناطيسية الكلية (بما في ذلك القوة الكهربائية) اسمًا آخر (غير قياسي). هذه المقالة لن تتبع هذه التسمية: في ما يلي، سيشير المصطلح “قوة لورنتز” إلى التعبير عن القوة الكلية.
يتجلى عنصر القوة المغناطيسية لقوة لورنتز على أنه القوة التي تؤثر على سلك يحمل تيارًا في مجال مغناطيسي. في هذا السياق، تسمى أيضًا قوة لابلاس.
قوة لورنتز هي قوة يبذلها المجال الكهرومغناطيسي على الجسيم المشحون، أي المعدل الذي ينتقل به الزخم الخطي من المجال الكهرومغناطيسي إلى الجسيم. وترتبط به القوة وهي المعدل الذي تنتقل به الطاقة من المجال الكهرومغناطيسي إلى الجسيم. تلك القوة هي
]\ {\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .} [\
لاحظ أن المجال المغناطيسي لا يساهم في القوة لأن القوة المغناطيسية دائمًا متعامدة مع سرعة الجسيم.
توزيع الشحنة المستمر
قوة لورنتز (لكل وحدة حجم 3) و على توزيع الشحنة المستمر (كثافة الشحنة ρ) في الحركة. تتوافق كثافة التيار 3 J مع حركة عنصر الشحنة dq في عنصر الحجم dV وتختلف عبر السلسلة المتصلة.
لتوزيع الشحنة المستمر أثناء الحركة، تصبح معادلة قوة لورنتز
]\ {\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!} [\
حيث dF هي القوة المؤثرة على جزء صغير من توزيع الشحنة بتكلفة dq. إذا تم تقسيم جانبي هذه المعادلة على حجم هذه القطعة الصغيرة من توزيع الشحنة dV، تكون النتيجة:
]\ {\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\,\!} [\
حيث f هي كثافة القوة (القوة لكل وحدة حجم) و ρ هي كثافة الشحنة (الشحنة لكل وحدة حجم). بعد ذلك، فإن كثافة التيار المقابلة لحركة سلسلة الشحنة المتصلة هي
]\ {\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} \,\!} [\
لذا فإن التناظرية المستمرة للمعادلة هي
]\ { \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,\!} [\
القوة الكلية هي الحجم المتكامل على توزيع الشحنة:
]\ {\mathbf {F} =\iiint \!(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,\mathrm {d} V.\,\!} [\
من خلال حذف ρ و j، باستخدام معادلات ماكسويل، والمعالجة باستخدام نظريات حساب التفاضل والتكامل، يمكن استخدام هذا الشكل من المعادلة لاشتقاق موتر إجهاد ماكسويل ρ، وبالتالي يمكن دمجه مع متجه S للحصول على التوتر الكهرومغناطيسي – موتر الطاقة T المستخدم في النسبية العامة.
من حيث ρ و S، هناك طريقة أخرى لكتابة قوة لورنتز (لكل وحدة حجم) وهي
]\ {\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,\!} [\
حيث c هي سرعة الضوء و ∇· تدل على تباعد حقل موتر. بدلاً من مقدار الشحنة وسرعتها في المجالين الكهربائي والمغناطيسي، تربط هذه المعادلة تدفق الطاقة (تدفق الطاقة لكل وحدة زمنية لكل وحدة مسافة) في الحقول بالقوة المبذولة على توزيع الشحنة. انظر الصيغة المتغيرة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية لمزيد من التفاصيل.
كثافة الطاقة المرتبطة بقوة لورنتز في وسط مادي هي:
]\ {\ \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .} [\
إذا فصلنا الشحنة الكلية والتيار الكلي إلى أجزائها الحرة والمقيدة، فسنحصل على أن كثافة قوة لورنتز هي:
]\ {{ \mathbf {f} =(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} )\mathbf {E} +(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}})\times \mathbf {B} .}} [\
حيث: ρf هي كثافة الشحن المجاني؛ P هي كثافة الاستقطاب؛ jf هي كثافة التيار الحر؛ و M هي كثافة المغنطة. بهذه الطريقة، يمكن لقوة لورنتز تفسير العزم المطبق على مغناطيس دائم بواسطة المجال المغناطيسي. كثافة القوة المصاحبة هي
]\ {\ \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .} [\
المعادلة بوحدات cgs
تستخدم الصيغ المذكورة أعلاه وحدات SI الأكثر شيوعًا. في وحدات CGS-Gaussian الأقدم، والتي تكون أكثر شيوعًا إلى حد ما بين بعض علماء الفيزياء النظرية وكذلك تجريبيي المادة المكثفة، فقد استخدم المرء بدلاً من ذلك
]\ {\mathbf {F} = q_{\mathrm {cgs} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {cgs} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }\right).} [\
حيث c هي سرعة الضوء. على الرغم من أن هذه المعادلة تبدو مختلفة قليلاً، إلا أنها متكافئة تمامًا، حيث أن للمرء العلاقات التالية:
]\ {\ q_{\mathrm {cgs} } = {\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {cgs} } = {\sqrt {4\pi \epsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {cgs} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.} [\
حيث ε0 هي سماحية الفراغ و μ0 هي نفاذية الفراغ. في الممارسة العملية، يتم دائمًا حذف الرموز “cgs” و “SI”، ويجب تقييم نظام الوحدة من السياق.
تاريخ قوة لورنتز
نظرية لورنتز للإلكترونات. صيغ لقوة لورنتز (I، قوة العقل) ومعادلات ماكسويل لتباعد المجال الكهربائي E(II) والمجال المغناطيسي B (III)، La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants، 1892، p. 451. V هي سرعة الضوء.
تم إجراء محاولات مبكرة لوصف القوة الكهرومغناطيسية كميًا في منتصف القرن الثامن عشر. تم اقتراح أن القوة على الأقطاب المغناطيسية، بواسطة يوهان توبياس ماير وآخرون في عام 1760، والأجسام المشحونة كهربائيًا، بواسطة هنري كافنديش في عام 1762، تخضع لقانون التربيع العكسي. ومع ذلك، في كلتا الحالتين لم يكن الدليل التجريبي كاملاً ولا قاطعًا. لم يكن الأمر كذلك حتى عام 1784 عندما تمكن تشارلز أوغستين دي كولوم، باستخدام ميزان الالتواء، من إظهار أن هذا كان صحيحًا بشكل قاطع من خلال التجربة. بعد فترة وجيزة من اكتشاف هانز كريستيان أورستد في عام 1820 أن إبرة مغناطيسية تعمل بواسطة تيار فولتية، تمكن أندريه ماري أمبير في نفس العام من ابتكار صيغة الاعتماد الزاوي للقوة بين عنصرين حاليين من خلال التجربة. في كل هذه الأوصاف، كانت القوة تُوصف دائمًا من حيث خصائص المادة المعنية والمسافات بين كتلتين أو شحنتين بدلاً من المجالين الكهربائي والمغناطيسي.
نشأ المفهوم الحديث للمجالات الكهربائية والمغناطيسية لأول مرة في نظريات مايكل فاراداي، ولا سيما فكرته عن خطوط القوة، والتي تم إعطاؤها فيما بعد وصفًا رياضيًا كاملاً من قبل اللورد كلفن وجيمس كليرك ماكسويل.
من منظور حديث، من الممكن تحديد شكل من معادلة قوة لورنتز فيما يتعلق بالتيارات الكهربائية في صياغة ماكسويل عام 1865 لمعادلات المجال الخاصة به، على الرغم من أنه في زمن ماكسويل لم يكن من الواضح كيف ترتبط معادلاته بالقوى المشحونة المتحركة. شاء. كان J.J. Thomson (جوزيف جون طومسون) أول من حاول اشتقاق القوى الكهرومغناطيسية على جسم مشحون متحرك من معادلات ماكسويل الميدانية من حيث خصائص الجسم والمجالات الخارجية. مهتم بتحديد السلوك الكهرومغناطيسي للجسيمات المشحونة في أشعة الكاثود، نشر طومسون ورقة في عام 1881 حيث أعطى القوة على الجسيمات بسبب مجال مغناطيسي خارجي مثل
]\ {\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .} [\
اشتق طومسون الصيغة الأساسية الصحيحة للصيغة، ولكن بسبب بعض الحسابات الخاطئة والوصف غير الكامل لتيار الإزاحة، تضمن عامل قياس غير صحيح بمقدار النصف أمام الصيغة. اخترع أوليفر هيفيسايد تدوين المتجه الحديث وطبقه على معادلات ماكسويل الميدانية. قام أيضًا (في عامي 1885 و 1889) بإصلاح أخطاء اشتقاق طومسون ووصل إلى الشكل الصحيح للقوة المغناطيسية على جسم مشحون متحرك. أخيرًا، في عام 1895، اشتق هندريك لورنتز الصيغة الحديثة لصيغة القوة الكهرومغناطيسية التي تتضمن المساهمات في القوة الكلية من كل من المجالين الكهربائي والمغناطيسي. بدأ لورنتز بالتخلي عن أوصاف ماكسويل للأثير والتوصيل. بدلاً من ذلك، ميز لورنتز بين المادة والأثير المضيء وسعى إلى تطبيق معادلات ماكسويل على نطاق مجهري. باستخدام نسخة هيفسايد من معادلات ماكسويل للأثير الثابت وتطبيق ميكانيكا لاغرانج، توصل لورنتز إلى الشكل الصحيح والكامل لقانون القوة الذي يحمل اسمه الآن.
مسارات الجسيمات بسبب قوة لورنتز
الجسيمات المشحونة تنجرف في مجال مغناطيسي متجانس. (A) لا توجد قوة مزعجة (B) مع مجال كهربائي، E (C) بقوة مستقلة، F (مثل الجاذبية) (D) في مجال مغناطيسي غير متجانس، grad H
في العديد من الحالات ذات الأهمية العملية، يمكن التعامل مع الحركة في المجال المغناطيسي لجسيم مشحون كهربائيًا (مثل الإلكترون أو الأيون في البلازما) على أنها تراكب لحركة دائرية سريعة نسبيًا حول نقطة تسمى مركز التوجيه و a الانجراف البطيء نسبيًا لهذه النقطة. قد تختلف سرعات الانجراف باختلاف الأنواع اعتمادًا على حالات الشحن أو الكتل أو درجات الحرارة، مما قد يؤدي إلى تيارات كهربائية أو فصل كيميائي.
أهمية قوة لورنتز
بينما تصف معادلات ماكسويل الحديثة كيف تؤدي الجسيمات والتيارات المشحونة كهربائيًا أو تحريك الجسيمات المشحونة إلى ظهور مجالات كهربائية ومغناطيسية، يكمل قانون قوة لورنتز تلك الصورة من خلال وصف القوة المؤثرة على شحنة نقطة متحركة q في وجود المجالات الكهرومغناطيسية.
يصف قانون قوة لورنتز تأثير E و B على شحنة نقطية، لكن هذه القوى الكهرومغناطيسية ليست الصورة بأكملها. من المحتمل أن تقترن الجسيمات المشحونة بقوى أخرى، لا سيما الجاذبية والقوى النووية. وبالتالي، فإن معادلات ماكسويل لا تقف منفصلة عن القوانين الفيزيائية الأخرى، ولكنها تقترن بها عبر الشحنة والكثافة الحالية. إن استجابة تهمة نقطية لقانون لورنتز هي جانب واحد؛ جيل E و B بالتيارات والشحنات هو شيء آخر.
في المواد الحقيقية، تكون قوة لورنتز غير كافية لوصف السلوك الجماعي للجسيمات المشحونة، سواء من حيث المبدأ أو كمسألة حسابية. لا تستجيب الجسيمات المشحونة في وسط مادي للحقول E و B فحسب، بل تولد هذه الحقول أيضًا. يجب حل معادلات النقل المعقدة لتحديد الوقت والاستجابة المكانية للشحنات، على سبيل المثال، معادلة Boltzmann أو معادلة Fokker-Planck أو معادلات Navier-Stokes. على سبيل المثال، انظر الديناميكا المائية المغناطيسية، وديناميكيات السوائل، والديناميكا الكهرومائية، والموصلية الفائقة، والتطور النجمي. تم تطوير جهاز مادي كامل للتعامل مع هذه الأمور. انظر على سبيل المثال، العلاقات بين جرين وكوبو و داله جرين (نظرية الأجسام المتعددة).
القوة على سلك يحمل التيار
قاعدة اليد اليمنى لسلك يحمل تيارًا في مجال مغناطيسي B
عندما يتم وضع سلك يحمل تيارًا كهربائيًا في مجال مغناطيسي، فإن كل من الشحنات المتحركة، التي تشكل التيار، تتعرض لقوة لورنتز، ويمكنهما معًا إنشاء قوة ماكروسكوبية على السلك (تسمى أحيانًا قوة لابلاس). بدمج قانون قوة لورنتز أعلاه مع تعريف التيار الكهربائي، ينتج عن المعادلة التالية، في حالة السلك الثابت الثابت:
]\ {\ \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} } [\
حيث ℓ متجه حجمه طول السلك واتجاهه على طول السلك، محاذيًا لاتجاه تدفق شحنة التيار التقليدي I.
إذا لم يكن السلك مستقيمًا ولكنه منحني، فيمكن حساب القوة المؤثرة عليه من خلال تطبيق هذه الصيغة على كل جزء متناهي الصغر من السلك dℓ، ثم جمع كل هذه القوى بالتكامل. بشكل رسمي، القوة الكلية المؤثرة على سلك جامد ثابت يحمل تيارًا ثابتًا I هي
]\ {\mathbf {F} = I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} } [\
هذه هي القوة المحصلة. بالإضافة إلى ذلك، عادة ما يكون هناك عزم دوران، بالإضافة إلى تأثيرات أخرى إذا لم يكن السلك صلبًا تمامًا.
أحد تطبيقات هذا هو قانون قوة Ampère، الذي يصف كيف يمكن لسلكين يحملان تيارًا جذب أو تنافر بعضهما البعض، حيث يختبر كل منهما قوة لورنتز من المجال المغناطيسي للآخر.
EMF
عنصر القوة المغناطيسية (qv × B) لقوة لورنتز مسؤول عن القوة الدافعة الكهربائية (أو EMF الحركية)، وهي الظاهرة الكامنة وراء العديد من المولدات الكهربائية. عندما يتم نقل موصل عبر مجال مغناطيسي، فإن المجال المغناطيسي يمارس قوى معاكسة على الإلكترونات ونواة السلك، وهذا يخلق EMF. يتم تطبيق مصطلح “EMF المتحرك” على هذه الظاهرة، نظرًا لأن EMF يرجع إلى حركة السلك.
في المولدات الكهربائية الأخرى، تتحرك المغناطيسات، بينما لا تتحرك الموصلات. في هذه الحالة، يرجع السبب في EMF إلى مصطلح القوة الكهربائية (qE) في معادلة قوة لورنتز. يتم إنشاء المجال الكهربائي المعني بواسطة المجال المغناطيسي المتغير، مما يؤدي إلى حدوث EMF، كما هو موضح في معادلة Maxwell-Faraday (إحدى معادلات Maxwell الحديثة الأربعة).
كلا من هذين المجالين الكهرومغناطيسي، على الرغم من أصولهما المتميزة ظاهريًا، موصوفان بنفس المعادلة، أي أن المجال الكهرومغناطيسي هو معدل تغير التدفق المغناطيسي عبر السلك. كانت نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين مدفوعة جزئيًا بالرغبة في فهم هذا الارتباط بين التأثيرين بشكل أفضل.
في الواقع، فإن المجالين الكهربائي والمغناطيسي هما وجهان مختلفان لنفس المجال الكهرومغناطيسي، وفي الانتقال من إطار بالقصور الذاتي إلى آخر، يمكن أن يتغير جزء حقل ناقل الملف اللولبي للحقل الإلكتروني كليًا أو جزئيًا إلى حقل B أو والعكس صحيح.
قوة لورنتز وقانون فاراداي للحث
قوة لورنتز – صورة على جدار في ليدن
بالنظر إلى حلقة من الأسلاك في مجال مغناطيسي، ينص قانون فاراداي للحث على أن القوة الدافعة الكهربائية المستحثة (EMF) في السلك هي:
]\ { {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}} } [\
أين
]\ {\Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t) } [\
هو التدفق المغناطيسي خلال الحلقة، B هو المجال المغناطيسي، Σ(t) هو سطح يحده المحيط المغلق ∂Σ(t)، في الوقت t، dA هو عنصر منطقة متجه متناهي الصغر Σ(t) (المقدار) هي مساحة رقعة متناهية الصغر من السطح، والاتجاه متعامد مع تلك الرقعة السطحية).
علامة EMF يحددها قانون لينز. لاحظ أن هذا صالح ليس فقط لسلك ثابت – ولكن أيضًا لسلك متحرك.
من قانون فاراداي للحث (وهو صالح لسلك متحرك، على سبيل المثال في المحرك) ومعادلات ماكسويل، يمكن استنتاج قوة لورنتز. العكس صحيح أيضًا، يمكن استخدام قوة لورنتز ومعادلات ماكسويل لاشتقاق قانون فاراداي.
دع Σ(t) هو السلك المتحرك، يتحرك معًا بدون دوران وبسرعة ثابتة v و Σ(t) يكون السطح الداخلي للسلك. يتم إعطاء EMF حول المسار المغلق ∂Σ(t) بواسطة:
]\ { \mathcal {E}} = \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q} [\
أين E = f/q هو المجال الكهربائي و dℓ هو عنصر متجه متناهي الصغر في الكفاف ∂Σ(t).
ملحوظة: لكل من dℓ و dA غموض في الإشارة؛ للحصول على الإشارة الصحيحة، يتم استخدام قاعدة اليد اليمنى، كما هو موضح في مقالة نظرية كلفن-ستوكس.
يمكن مقارنة النتيجة أعلاه بإصدار قانون فاراداي للاستقراء الذي يظهر في معادلات ماكسويل الحديثة، والتي تسمى هنا معادلة ماكسويل-فاراداي:
]\ { \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\ .} [\
يمكن أيضًا كتابة معادلة ماكسويل-فاراداي بشكل متكامل باستخدام نظرية كلفن-ستوكس.
إذن لدينا، معادلة ماكسويل فاراداي:
]\ {\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t) = -\ \iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm {d} \,\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)} \over \mathrm {d} t}} [\
وقانون فاراداي،
]\ {\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t) = -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).} [\
الاثنان متكافئان إذا كان السلك لا يتحرك. باستخدام قاعدة لايبنيز التكاملية وأن divB = 0، ينتج عنه،
]\ {\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\iint _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} [\
وباستخدام معادلة ماكسويل فاراداي،
]\ {\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} [\
نظرًا لأن هذا صالح لأي موضع سلكي، فهذا يعني أنه،
]\ {\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).} [\
ينص قانون فاراداي للحث على ما إذا كانت حلقة السلك صلبة وثابتة، أو متحركة أو في طور التشوه، ويحدد ما إذا كان المجال المغناطيسي ثابتًا في الوقت المناسب أو متغيرًا. ومع ذلك، هناك حالات يكون فيها قانون فاراداي إما غير مناسب أو يصعب استخدامه، ويكون تطبيق قانون قوة لورنتز الأساسي ضروريًا. انظر عدم قابلية تطبيق قانون فاراداي.
إذا تم إصلاح المجال المغناطيسي في الوقت المناسب وتحركت الحلقة الموصلة عبر الحقل، يمكن أن يتغير التدفق المغناطيسي ΦB الذي يربط الحلقة بعدة طرق. على سبيل المثال، إذا تغير الحقل B مع الموضع، وانتقلت الحلقة إلى موقع به حقل B مختلف، فإن ΦB ستتغير. بدلاً من ذلك، إذا غيرت الحلقة الاتجاه فيما يتعلق بالحقل B، فإن العنصر التفاضلي B ⋅ dA سيتغير بسبب الزاوية المختلفة بين B و dA، مع تغيير B أيضًا. كمثال ثالث، إذا تم اجتياح جزء من الدائرة خلال مجال B موحد ومستقل عن الوقت، وكان جزء آخر من الدائرة ثابتًا، يمكن أن يتغير التدفق الذي يربط الدائرة المغلقة بأكملها بسبب التحول في الموضع النسبي من الأجزاء المكونة للدائرة مع الوقت (السطح ∂Σ(t) يعتمد على الوقت). في جميع الحالات الثلاث، يتنبأ قانون الاستقراء الخاص بفاراداي بالقوة الكهرومغناطيسية الناتجة عن التغيير في B.
لاحظ أن معادلة ماكسويل فاراداي تشير إلى أن المجال الكهربائي E غير متحفظ عندما يتغير المجال المغناطيسي B بمرور الوق، ولا يمكن التعبير عنه كتدرج في حقل عددي، ولا يخضع لنظرية التدرج لأن دورانه ليس صفرًا.
