تويت
تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل متغير متعدد الحدود غير ثابت مع معاملات معقدة له جذر معقد واحد على الأقل. يتضمن ذلك كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية، لأن كل رقم حقيقي هو رقم مركب مع الجزء التخيلي منه يساوي صفرًا. بالتساوي (حسب التعريف)، تنص النظرية على أن مجال الأعداد المركبة مغلق جبريًا. تم ذكر النظرية أيضًا على النحو التالي:
كل غير صفري، و متغير واحد، و درجة n كثيرة الحدود مع معاملات معقدة، محسوبة بالتعددية، له بالضبط n جذور معقدة.
يمكن إثبات تكافؤ العبارتين من خلال استخدام القسمة المتتالية متعددة الحدود. على الرغم من اسمها، لا يوجد دليل جبري بحت للنظرية، لأن أي دليل يجب أن يستخدم شكلاً من أشكال الاكتمال التحليلي للأرقام الحقيقية، و هو ليس مفهومًا جبريًا. بالإضافة إلى ذلك، فهي ليست أساسية للجبر الحديث. أُطلق اسمه في وقت كان الجبر فيه مرادفًا لنظرية المعادلات.
تاريخ النظرية الأساسية في الجبر
كتب بيتر روث، في كتابه Arithmetica Philosophica (المنشور عام 1608)، أن معادلة متعددة الحدود للدرجة n (مع معاملات حقيقية) قد يكون لها nحلول. أكد ألبرت جيرارد، في كتابه L’invention nouvelle en l’Algèbre (نُشر عام 1629)، أن المعادلة متعددة الحدود للدرجة n لها n حلول، لكنه لم يذكر أنها يجب أن تكون أرقامًا حقيقية. علاوة على ذلك، أضاف أن تأكيده ينطبق “ما لم تكن المعادلة غير كاملة”، مما يعني أنه لا يوجد معامل يساوي 0. و مع ذلك، عندما يشرح بالتفصيل ما يعنيه، يتضح أنه يعتقد بالفعل أن تأكيده صحيح دائمًا؛ على سبيل المثال، يوضح أن المعادلة x4 = 4x-3، على الرغم من عدم اكتمالها، لها أربعة حلول (حساب المضاعفات):
1 (مرتين) ،
و
كما سيتم ذكره مرة أخرى أدناه، فإنه يترتب على النظرية الأساسية للجبر أن كل كثير حدود غير ثابت مع معاملات حقيقية يمكن كتابتها كمنتج للعديد من المعاملات ذات المعاملات الحقيقية التي تكون درجاتها إما 1 أو 2. و مع ذلك، في عام 1702، قال ليبنيز خطأً أنه لا يمكن كتابة كثير الحدود من النوع x4 + a4 (مع حقيقي و مميز من 0) بهذه الطريقة. في وقت لاحق، قدم نيكولاس برنولي نفس التأكيد فيما يتعلق بالعديد من الحدود x4 – 4x3 + 2x2 + 4x + 4، لكنه تلقى رسالة من أويلر في عام 1742 والتي تبين أن هذه كثيرة الحدود تساوي
مع
، أيضًا، أشار أويلر إلى
تم إجراء أول محاولة لإثبات النظرية بواسطة دالمبيرت في عام 1746، لكن إثباته لم يكن كاملاً. من بين المشكلات الأخرى، افترضت ضمنيًا نظرية (تُعرف الآن باسم نظرية بويزوكس)، و التي لم يتم إثباتها إلا بعد أكثر من قرن وباستخدام النظرية الأساسية للجبر. تم إجراء محاولات أخرى من قبل أويلر (1749)، دي فونسينكس (1759)، لاجرانج (1772)، و لابلاس (1795). هذه المحاولات الأربع الأخيرة افترضت ضمنيًا تأكيد جيرارد. لكي نكون أكثر دقة، تم افتراض وجود الحلول وكل ما تبقى لإثباته هو أن شكلها كان a + bi لبعض الأعداد الحقيقية a و b. في المصطلحات الحديثة، كان أويلر، و دي فونسينكس، و لاجرانج، و لابلاس يفترضون وجود مجال انقسام لكثير الحدود p(z).
في نهاية القرن الثامن عشر، نُشر دليلان جديدان لم يفترضوا وجود الجذور، لكن لم يكتمل أي منهما. تم نشر أحدها في عام 1798، و يرجع ذلك لجيمس وود والجبر بشكل أساسي، و تم تجاهله تمامًا. برهان وود كان به فجوة جبرية. تم نشر الكتاب الآخر بواسطة غاوس في عام 1799 و كان هندسيًا بشكل أساسي، ولكن كان به فجوة طوبولوجية، ملأها ألكسندر أوستروفسكي فقط في عام 1920، كما تمت مناقشته في (1981). تم نشر أول دليل صارم من قبل جان روبرت أرغند ،رياضياتي فرنسي في عام 1806 (وأعيد النظر في عام 1813)؛ هنا أيضًا، و لأول مرة، تم ذكر النظرية الأساسية للجبر لكثيرات الحدود ذات المعاملات المعقدة، بدلاً من المعاملات الحقيقية فقط. أنتج جاوس دليلين آخرين في عام 1816 و نسخة أخرى غير كاملة من برهانه الأصلي في عام 1849.
كان أول كتاب مدرسي يحتوي على دليل على النظرية هو Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique من كوشي (1821). احتوت على دليل أرغند، على الرغم من أن أرجاند لم يُنسب إليه الفضل.
ليست أي من البراهين المذكورة حتى الآن بناءة. لقد كان كارل فايرشتراس، رياضياتي ألماني هو الذي أثار لأول مرة، في منتصف القرن التاسع عشر، مشكلة إيجاد دليل بناء على نظرية الجبر الأساسية. قدم حله، و الذي يرقى بالمصطلحات الحديثة إلى مزيج من طريقة Durand-Kerner مع مبدأ استمرارية homotopy، في عام 1891. تم الحصول على دليل آخر من هذا النوع من قبل Hellmuth Kneser في عام 1940 وتبسيطه من قبل ابنه مارتن كنسر في عام 1981.
بدون استخدام خيار معدود، ليس من الممكن إثبات النظرية الأساسية للجبر للأعداد المركبة بناءً على إنشاء الأعداد الحقيقية (والتي لا تعادل بشكل بنّاء الأعداد الحقيقية لـ Cauchy بدون خيار معدود). و مع ذلك، أثبت فريد ريتشمان أن النسخة المعاد صياغتها من النظرية تعمل بالفعل.
براهين النظرية الأساسية في الجبر
تتضمن جميع البراهين أدناه بعض التحليل الرياضي، أو على الأقل المفهوم الطوبولوجي لاستمرارية الوظائف الحقيقية أو المعقدة. يستخدم البعض أيضًا دوال قابلة للتفاضل أو حتى تحليلية. أدت هذه الحقيقة إلى ملاحظة أن النظرية الأساسية في الجبر ليست أساسية ولا نظرية في الجبر.
بعض براهين النظرية تثبت فقط أن أي كثير حدود غير ثابت مع معاملات حقيقية له جذر معقد. هذا كافٍ لتأسيس النظرية في الحالة العامة لأنه، بالنظر إلى كثير الحدود غير الثابت p(z) مع معاملات معقدة، فإن كثير الحدود
له معاملات حقيقية فقط، و إذا كان z هو صفر q(z)، فإن z أو مرافقه هو جذر p(z).
يستخدم عدد كبير من البراهين غير الجبرية للنظرية حقيقة (تسمى أحيانًا “النمو الليمماوي”) أن دالة متعددة الحدود من الدرجة n التي يكون معاملها السائد 1 يتصرف مثل zn عندما | z | كبير بما يكفي. البيان الأكثر دقة هو: هناك عدد حقيقي موجب R مثل:
لما یکون | z | >R
البراهين الجبرية التحليلية المعقدة
ابحث عن قرص مغلق D نصف قطره r يتم توسيطه في الأصل مثل | p(z) | > | (0)p | متى | z | ≥ r. الحد الأدنى | p(z) | على D، والتي يجب أن تكون موجودة لأن D مضغوطة، يتم تحقيقها عند نقطة ما z0 داخل D، و لكن ليس في أي نقطة من حدودها. يشير مبدأ المعامل الأقصى (المطبق على 1/p(z) ) إلى أن p(z0) = 0. بمعنى آخر، z0 هو صفر من p(z).
لا يتطلب أي اختلاف في هذا الدليل استخدام مبدأ المعامل الأقصى (في الواقع، تقدم نفس الحجة مع التغييرات الطفيفة أيضًا دليلًا على مبدأ الحد الأقصى للمعامل للدوال الشاملة). إذا افترضنا بالتناقض أن a: = p(z0) ≠ 0، إذن، فك p(z) في قوى z – z0 يمكننا الكتابة
هنا، فإن cj هي ببساطة معاملات كثير الحدود z → p(z + z0)، و نسمح بأن يكون k هو مؤشر المعامل الأول الذي يلي المصطلح الثابت غير الصفري. لكننا نرى الآن أنه بالنسبة إلى z القريبة بدرجة كافية من z0، فإن هذا له سلوك مشابه بشكل مقارب لسلوك كثير الحدود الأبسط
بمعنى أنه (كما هو سهل التحقق) الداله
يحده ثابت موجب M في بعض المناطق المجاورة لـ z0. لذلك، إذا حددنا
و
، فعندئذٍ لأي عدد موجب صغير بما فيه الكفاية r (بحيث يكون الحد M المذكور أعلاه ثابتًا)، باستخدام متباينة المثلث، نرى أن
عندما يكون r قريبًا بدرجة كافية من 0، يكون هذا الحد الأعلى لـ | p(z) | أصغر تمامًا من | a |، بما يتناقض مع تعريف z0. (هندسيًا، وجدنا اتجاهًا واضحًا θ0 بحيث إذا اقترب المرء من z0 من هذا الاتجاه، فيمكنه الحصول على قيم p(z) أصغر في القيمة المطلقة من | p(z0) |.)
يمكن الحصول على دليل تحليلي آخر على طول هذا الخط من التفكير مع ملاحظة ذلك، منذ | p(z) | > | (0)p | خارج D، الحد الأدنى | p(z) | على المستوى المعقد بأكمله يتم تحقيقه عند z0. إذا | p(z0) | > 0 ، إذن 1/p هي دالة كاملة الشكل في المستوى المركب بأكمله منذ، لكل عدد مركب z،.|1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|
بتطبيق مبرهنة ليوفيل ، التي تنص على أن الدالة الكاملة المقيدة يجب أن تكون ثابتة، فهذا يعني أن 1/pثابت، وبالتالي فإن p ثابت. هذا يعطي تناقضًا، و بالتالي فإن p(z0) = 0.
دليل تحليلي آخر يستخدم مبدأ الحجة. لنفترض أن R عددًا حقيقيًا موجبًا كبيرًا بدرجة كافية بحيث يكون لكل جذر p(z) قيمة مطلقة أصغر من R؛ يجب أن يوجد مثل هذا الرقم لأن كل دالة كثيرة حدود غير ثابتة من الدرجة n لها عدد n من الأصفار على الأكثر. لكل r > R، ضع في اعتبارك الرقم
حيث c( r) هي الدائرة المتمركزة عند 0 مع اتجاه نصف قطر r عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ثم يقول مبدأ أن هذا الرقم هو عدد N من أصفار p(z) في الكرة المفتوحة المتمركزة عند 0 مع نصف قطر r، والذي، منذ r > R، هو العدد الإجمالي لأصفار p(z). من ناحية أخرى، تكامل n/z على طول c( r) مقسومًا على 2πi يساوي n. لكن الفرق بين العددين هو
يكون بسط التعبير المنطقي الذي يتم تكامله درجة على الأكثر n – 1 ودرجة المقام هي n + 1. لذلك، الرقم أعلاه يميل إلى 0 مثل r → +∞ . لكن العدد يساوي أيضًا N – n وبالتالي N = n.
لا يزال يمكن تقديم دليل تحليلي معقد آخر من خلال الجمع بين الجبر الخطي و نظرية كوشي. لإثبات أن كل كثير حدود معقدة من الدرجة n > 0 لديها صفراً، يكفي إظهار أن كل مصفوفة مربعة معقدة بحجم n > 0 لها قيمة ذاتية (معقدة). الدليل على البيان الأخير هو التناقض. لنفترض أن A عبارة عن مصفوفة مربعة معقدة بحجم n > 0 و دعها تكون مصفوفة الوحدة من نفس الحجم. افترض أن أ ليس له قيم ذاتية. ضع في اعتبارك دالة التاليه
و هي دالة ذات شكل متناسق على المستوى المعقد بقيم في فضاء متجه للمصفوفات. القيم الذاتية لـ A هي بالضبط أقطاب R(z). نظرًا لأنه، من خلال الافتراض، لا تحتوي A على قيم ذاتية، فإن الدالة R(z) هي دالة كاملة و تشير نظرية كوشي إلى أن
من ناحية أخرى، تم توسيع R(z) كسلسلة هندسية تعطي:
هذه الصيغة صالحة خارج القرص المغلق بنصف قطر || A || (معيار المشغل A). ليكون r > || A ||، ثم
(حيث يكون للمجمع k = 0 فقط تكامل غير صفري). هذا تناقض، وبالتالي فإن (A) لها قيمة ذاتية.
أخيرًا، ربما تعطي نظرية روشيه أقصر دليل على هذه النظرية.
البراهين الطوبولوجية
افترض الحد الأدنى من | p(z) | على المستوى المعقد بأكمله يتم تحقيقه عند z0؛ لقد لوحظ في الدليل الذي يستخدم نظرية ليوفيل أن مثل هذا الرقم يجب أن يكون موجودًا. يمكننا كتابة p(z) ككثير حدود في z – z0: يوجد عدد طبيعي k وهناك بعض الأعداد المركبة ck ، ck + 1 ، … ، cn مثل ck ≠ 0 و:
إذا كانت p(z0) غير صفرية، فيستتبع ذلك أنه إذا كان a هو الجذر k −p(z0) / ck و إذا كانت t موجبة و صغيرة بدرجة كافية، عندئذٍ | p(z0 + ta) | <| p(z0) |، و هو مستحيل، منذ | p(z0) | هو الحد الأدنى | p | على D.
لإثبات طوبولوجي آخر بالتناقض، افترض أن متعدد الحدود p(z) ليس له جذور، و بالتالي لا يساوي 0. فكر في كثير الحدود كخريطة من المستوى المركب إلى المستوى المركب. إنه يرسم أي دائرة | z | = R في حلقة مغلقة، منحنى P( R). سننظر في ما يحدث لعدد ملفات P( R) في أقصى الحدود عندما تكون R كبيرة جدًا وعندما تكون R = 0. عندما يكون R عددًا كبيرًا بدرجة كافية، فإن المصطلح الرئيسي zn لـ p(z) يهيمن على جميع المصطلحات الأخرى مجتمعة؛ بعبارة أخرى،
عندما تعبر z الدائرة Reiθ مرة واحدة في عكس اتجاه عقارب الساعة2π 0 ≤ θ ≤ ثم رياح zn = Rneinθ مرة عكس اتجاه عقارب الساعة 0 ≤ θ ≤ 2πn حول الأصل (0،0) و P( R) بالمثل. على الطرف الآخر، مع | z| = 0 ، المنحنى P( 0) هو مجرد نقطة واحدة p( 0)، والتي يجب أن تكون غير صفرية لأن p( z) ليست صفرًا أبدًا. و بالتالي يجب أن تكون p( 0) مميزة عن الأصل (0 ، 0)، والذي يشير إلى 0 في المستوى المعقد. وبالتالي فإن عدد لف P( 0) حول الأصل (0 ، 0) هو 0.
الآن سيؤدي تغيير R باستمرار إلى تشويه الحلقة باستمرار. في بعض R، يجب أن يتغير رقم اللف. لكن هذا لا يمكن أن يحدث إلا إذا تضمن المنحنى P( R) الأصل (0 ،0 ) لبعض R. و لكن بعد ذلك بالنسبة لبعض z في تلك الدائرة | z| = R لدينا p( z) = 0، بما يتعارض مع افتراضنا الأصلي. لذلك، p( z) تحتوي على صفر واحد على الأقل.
البراهين الجبرية
يجب أن تستخدم هذه البراهين للنظرية الأساسية للجبر الحقائق التالية حول الأعداد الحقيقية التي ليست جبرية ولكنها تتطلب قدرًا صغيرًا من التحليل (بتعبير أدق، نظرية القيمة المتوسطة في كلتا الحالتين):
- كل كثير الحدود بدرجة فردية ومعاملات حقيقية لها جذر حقيقي؛
- لكل عدد حقيقي غير سالب جذر تربيعي.
تشير الحقيقة الثانية، جنبًا إلى جنب مع الصيغة التربيعية، إلى نظرية كثيرة الحدود التربيعية الحقيقية.
بعبارة أخرى، تُظهر البراهين الجبرية للنظرية الأساسية في الواقع أنه إذا كان R هو أي حقل مغلق فعليًا، فإن امتداده
مغلق جبريًا.
اثبات عن طريق الاستقراء
كما هو مذكور أعلاه، يكفي التحقق من العبارة “كل متعدد الحدود p(z) غير ثابت مع معاملات حقيقية له جذر معقد”. يمكن إثبات هذه العبارة عن طريق الاستقراء على أكبر عدد صحيح غير سالب k بحيث يقسم 2k الدرجة n لـ p(z). لنفترض أن a هو معامل zn في p(z) و دع F يكون مجال تقسيم p(z) على C ؛ بمعنى آخر، يحتوي الحقل F على C وهناك العناصر z1 و z2 و … و zn في F مثل
إذا كانت k = 0، فإن n عدد فردي، و بالتالي فإن p(z) لها جذر حقيقي. افترض الآن أن n = 2km (مع k > 0) و أن النظرية قد تم إثباتها بالفعل عندما تكون درجة كثير الحدود على شكل 2k – 1m ′ مع m’ فردي.
للحصول على رقم حقيقي t، حدد:
إذن، معاملات qt(z) هي كثيرات حدود متناظرة في zi مع معاملات حقيقية. لذلك، يمكن التعبير عنها ككثيرات حدود ذات معاملات حقيقية في كثيرات الحدود الأولية المتماثلة، أي في −a1, a2, …, (−1)nan. إذن، qt(z) لها في الواقع معاملات حقيقية. علاوة على ذلك، فإن درجة qt(z) هي n(n – 1)/2 = 2k−1m(n – 1) ، و m(n – 1) هو رقم فردي. لذلك، باستخدام فرضية الاستقراء، يحتوي qt على جذر مركب واحد على الأقل ؛ بمعنى آخر،zi + zj + tzizj معقد لعنصرين متميزين i و j من {1، …، n}. نظرًا لوجود أعداد حقيقية أكثر من الأزواج (I ، j)، يمكن للمرء أن يجد أعدادًا حقيقية مميزة t و s مثل zi + zj + tzizj و zi + zj + szizj معقدة (لنفس i و j).
لذا، فإن كلا من zi + zj و zizj عددان مركبان. من السهل التحقق من أن كل عدد مركب له جذر تربيعي معقد، و بالتالي فإن كل كثير حدود معقد من الدرجة 2 له جذر مركب بواسطة الصيغة التربيعية. و يترتب على ذلك أن zi و zj هما عددان مركبان، حيث إنهما جذور من التربيعية متعددة الحدود z2 − (zi + zj)z + zizj.
أظهر جوزيف شيبمان في عام 2007 أن الافتراض القائل بأن كثيرات الحدود من الدرجة الفردية لها جذور أقوى من اللازم؛ أي حقل يكون فيه العديد من الحدود من الدرجة الأولية له جذور يكون مغلقًا جبريًا (لذلك يمكن استبدال “فردي” بـ “شرط أساسي فردي” وهذا ينطبق على الحقول من جميع الخصائص). من أجل البديهية للحقول المغلقة جبريًا، هذا هو أفضل ما يمكن، حيث توجد أمثلة معاكسة إذا تم استبعاد رئيس واحد. و مع ذلك، فإن هذه الأمثلة المضادة تعتمد على 1 التي لها جذر تربيعي.
إذا أخذنا حقلاً حيث 1 ليس له جذر تربيعي، و كل كثير حدود من الدرجة n ∈ I لدي جذر، حيث أنا أي مجموعة لا نهائية ثابتة من الأرقام الفردية، فإن كل كثيرة الحدود f(x) من الدرجة الفردية لها جذر ( بما أن (x2 + 1)kf(x) لها جذر، حيث يتم اختيار k بحيث درجة (f) + 2k ∈ I). قام محسن العبادي بتعميم نتيجة شيبمان في عام 2013، حيث قدم دليلاً مستقلاً على أن شرطًا كافيًا لإغلاق حقل تعسفي (من أي خاصية) جبريًا هو أنه يحتوي على جذر لكل متعدد الحدود من الدرجة الأولى.
البراهين الهندسية
لا تزال هناك طريقة أخرى لمقاربة النظرية الأساسية للجبر، بسبب J.M. Almira و A. روميرو: بواسطة الحجج الهندسية الريمانية. الفكرة الرئيسية هنا هي إثبات أن وجود كثير حدود غير ثابت p(z) بدون أصفار يعني وجود مقياس ريماني مسطح فوق الكرة S2. هذا يؤدي إلى تناقض لأن الكرة ليست مسطحة.
يقال إن السطح الريماني (M ، g) يكون مسطحًا إذا كان انحناءه الغاوسي، الذي نشير إليه بواسطة Kg، فارغًا بشكل مماثل. الآ ، نظرية جاوس – بونيه، عند تطبيقها على الكرة S2، تدعي ذلك
مما يثبت أن الكرة ليست مسطحة.
لنفترض الآن أن n > 0 و
لكل عدد مركب z. دعونا نحدد
من الواضح أن p*(z) ≠ 0 لجميع z في C. ضع في اعتبارك كثير الحدود f(z) = p (z)p*(z). ثم f(z) ≠ 0 لكل z في C. بالإضافة إلى،
يمكننا استخدام هذه المعادلة الدالة لإثبات أن قيمة g معطاة بواسطة
لـ w في C و
بالنسبة إلى w ∈ S2\{0}، فهو مقياس ريماني محدد جيدًا فوق الكرة S2 (والذي نحدده مع المستوى المركب الممتد C ∪ {∞}). الآن، عملية حسابية بسيطة تظهر ذلك
لأن الجزء الحقيقي من الداله التحليلية متناسق. هذا يثبت أن Kg = 0.
النتائج الطبيعية للنظرية الأساسية في الجبر
نظرًا لأن النظرية الأساسية في الجبر يمكن اعتبارها بيانًا مفاده أن مجال الأعداد المركبة مغلق جبريًا، فإنه يترتب على ذلك أن أي نظرية تتعلق بالحقول المغلقة جبريًا تنطبق على مجال الأعداد المركبة. فيما يلي بعض النتائج الإضافية للنظرية، والتي تتعلق إما بمجال الأعداد الحقيقية أو العلاقة بين مجال الأعداد الحقيقية ومجال الأعداد المركبة:
- مجال الأعداد المركبة هو الإغلاق الجبري لمجال الأعداد الحقيقية.
- كل كثير حدود في متغير واحد z مع معاملات معقدة هو نتاج ثابت معقد ومتعدد الحدود بالصيغة z + a مع مركب.
- يمكن كتابة كل كثير الحدود في متغير واحد x مع معاملات حقيقية بشكل فريد على أنه حاصل ضرب ثابت متعدد الحدود على شكل x + a مع حقيقي ومتعدد الحدود بالصيغة x2 + ax + b مع a و b حقيقي و a2 – 4b < 0 (و هو نفس القول بأن كثير الحدود x2 + ax + b ليس له جذور حقيقية). (من خلال نظرية Abel-Ruffini، لا يتم التعبير عن الأعداد الحقيقية a و b بالضرورة من حيث معاملات كثير الحدود والعمليات الحسابية الأساسية واستخراج الجذور n.) و هذا يعني أن عدد غير الحقيقي تكون الجذور المعقدة دائمًا متساوية وتبقى حتى عند عدها بتعددها.
- يمكن كتابة كل دالة كسرية في متغير واحد x، مع معاملات حقيقية، كمجموع دالة متعددة الحدود مع وظائف عقلانية للصيغة a/(x – b)n (حيث n عدد طبيعي، و a و b حقيقيان الأرقام)، الدوال المنطقية بالصيغة (ax + b)/(x2 + cx + d) n (حيث n عدد طبيعي، و a و b و c و d هي أرقام حقيقية مثل c2 – 4d <0 ). والنتيجة الطبيعية لذلك هي أن كل دالة كسرية في متغير واحد ومعاملات حقيقية لها بدائية أولية.
- كل امتداد جبري للحقل الحقيقي متماثل إما للحقل الحقيقي أو للحقل المعقد.
الملفات المرفقة
