تويت
في نظرية الاحتمالات، تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أنه في كثير من الحالات، عند إضافة متغيرات عشوائية مستقلة، فإن مجموعها الطبيعي بشكل صحيح يميل إلى التوزيع الطبيعي (بشكل غير رسمي منحنى الجرس) حتى لو لم يتم توزيع المتغيرات الأصلية نفسها بشكل طبيعي . النظرية هي مفهوم رئيسي في نظرية الاحتمالات لأنها تشير إلى أن الطرق الاحتمالية والإحصائية التي تعمل من أجل التوزيعات العادية يمكن أن تكون قابلة للتطبيق على العديد من المشاكل التي تنطوي على أنواع أخرى من التوزيعات. شهدت هذه النظرية العديد من التغييرات أثناء التطوير الرسمي لنظرية الاحتمالات. تعود الإصدارات السابقة من النظرية إلى عام 1811، و لكن في شكلها العام الحديث، تم تحديد هذه النتيجة الأساسية في نظرية الاحتمالات بدقة في أواخر عام 1920، و بالتالي كانت بمثابة جسر بين نظرية الاحتمال الكلاسيكية والحديثة.
إذا كانت x1 ، x2 ، … xn عبارة عن n عينات عشوائية مأخوذة من مجتمع بمتوسط إجمالي μ ومتغير محدود σ2، وإذا كان Xn هو متوسط العينة، فإن الشكل المحدد للتوزيع، \[ { Z=\lim_{n\to \infty }{\sqrt {n}}{({\frac {{\bar {X}}_{n} – \mu }{\sigma }} \]، هو توزيع عادي قياسي.
على سبيل المثال، افترض أنه تم الحصول على عينة تحتوي على العديد من الملاحظات، وأن كل ملاحظة يتم إنشاؤها عشوائيًا بطريقة لا تعتمد على قيم الملاحظات الأخرى، و أن المتوسط الحسابي للقيم المرصودة يتم حسابه. إذا تم تنفيذ هذا الإجراء عدة مرات، فإن نظرية الحد المركزي تقول أن توزيع احتمالية المتوسط سيقارب التوزيع الطبيعي تقريبًا. مثال بسيط على ذلك هو أنه إذا قام أحدهم بقلب عملة معدنية عدة مرات، فإن احتمال الحصول على عدد معين من الصور سيقترب من التوزيع الطبيعي، بمتوسط يساوي نصف العدد الإجمالي للقلبات. عند حد عدد لانهائي من التقلبات، ستساوي التوزيع الطبيعي.
نظرية الحد المركزي لها عدة متغيرات. في شكلها المشترك، يجب توزيع المتغيرات العشوائية بشكل مماثل. في المتغيرات، يحدث تقارب المتوسط مع التوزيع الطبيعي أيضًا للتوزيعات غير المتطابقة أو للملاحظات غير المستقلة، إذا كانت تتوافق مع شروط معينة. أقدم نسخة من هذه النظرية، والتي يمكن استخدام التوزيع الطبيعي كتقريب للتوزيع ذي الحدين، هي نظرية دي Moivre-Laplace.
تاريخ نظرية الحد المركزي
كتب عالم الرياضيات الهولندي هينك تيمز:
” نظرية الحد المركزي لها تاريخ مثير للاهتمام. تم افتراض النسخة الأولى من هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي المولد أبراهام دي موفر الذي استخدم، في مقال رائع نُشر عام 1733، التوزيع الطبيعي لتقريب توزيع عدد الرؤوس الناتج عن العديد من رميات عملة عادلة. كانت هذه النتيجة سابقة لعصرها، و كادت أن تُنسى حتى أنقذها عالم الرياضيات الفرنسي الشهير بيير سيمون لابلاس من الغموض في عمله الضخم Théorie analytique des probabilités، الذي نُشر عام 1812. وسع لابلاس اكتشاف أبراهام دي موافر عن طريق تقريب التوزيع ذي الحدين بالتوزيع الطبيعي. ولكن كما هو الحال مع أبراهام دي موافر، لم تحظ اكتشافات لابلاس باهتمام كبير في عصره. لم يتم تمييز أهمية نظرية الحد المركزي حتى نهاية القرن التاسع عشر، عندما عرّفها عالم الرياضيات الروسي ألكسندر ليابونوف في عام 1901 بعبارات عامة و أثبت بدقة كيفية عملها رياضيًا. في الوقت الحاضر، تعتبر نظرية الحد المركزي هي السيادة غير الرسمية لنظرية الاحتمالات.“
وصف السير فرانسيس غالتون نظرية الحدود المركزية بهذه الطريقة:
” إنني بالكاد أعرف أي شيء مناسب لإثارة إعجاب الخيال مثل الشكل الرائع للنظام الكوني الذي يعبر عنه “قانون تواتر الخطأ”. كان يمكن لليونانيين أن يجسدوا القانون ويؤلهوا لو كانوا يعرفون به. إنه يسود بهدوء وفي محو ذاتي كامل، وسط أعنف الارتباك. كلما احتشدت الغوغاء، و زادت الفوضى الظاهرة، كان نفوذها أكثر كمالا. إنه القانون الأسمى لللامعقول. عندما يتم أخذ عينة كبيرة من العناصر الفوضوية في متناول اليد وتنظيمها حسب حجمها، فإن شكلًا غير متوقع وأجمل من أشكال الانتظام يثبت أنه كان كامنًا طوال الوقت.“
المصطلح الفعلي “نظرية الحد المركزي” (بالألمانية: “zentraler Grenzwertsatz”) استخدمه جورج بوليا لأول مرة في عام 1920 في عنوان الورقة. أشار جورج بوليا إلى النظرية بأنها “مركزية” نظرًا لأهميتها في نظرية الاحتمالات. وفقًا لـ Le Cam، تفسر مدرسة الاحتمالات الفرنسية كلمة مركزية بمعنى أنها “تصف سلوك مركز التوزيع بدلاً من ذيوله”. يُترجم ملخص الورقة حول نظرية الحد المركزي في حساب الاحتمال ومشكلة اللحظات بواسطة Pólya في عام 1920 على النحو التالي.
” يمكن تفسير حدوث كثافة الاحتمالية الغوسية 1 = e−x2 في التجارب المتكررة، في أخطاء القياسات، والتي تؤدي إلى مزيج من أخطاء أولية كثيرة جدًا وصغيرة جدًا، في عمليات الانتشار وما إلى ذلك، كما هو معروف جيدًا، بنفس نظرية النهايات، والتي تلعب دورًا مركزيًا في حساب التفاضل والتكامل. يجب تسمية المكتشف الفعلي لنظرية الحد لابلاس؛ من المحتمل أن يكون پافنوتی چبیشف قد قدم دليلاً صارمًا لأول مرة ويمكن العثور على صيغته الأكثر حدة، على حد علمي، في مقال بقلم ألكسندر ليابونوف. “
يقدم هالد وصفًا شاملاً لتاريخ النظرية، يوضح بالتفصيل العمل التأسيسي لابلاس، بالإضافة إلى مساهمات كوشي و بيسيل و بواسون. قدم هانز فيشر روايتين تاريخيتين، أحدهما يغطي التطور من لابلاس إلى كوشي، والثاني مساهمات فون ميزس و بولا وليندبرغ وليفي وكريمير خلال عشرينيات القرن الماضي. يصف لو كام فترة حوالي عام 1935. يقدم برنشتاين مناقشة تاريخية تركز على أعمال بافنوتي تشيبيشيف و طلابه أندريه ماركوف و ألكسندر ليابونوف والتي أدت إلى البراهين الأولى للـ CLT في بيئة عامة.
حاشية غريبة لتاريخ نظرية الحدود المركزية هي أن إثبات نتيجة مشابهة لما جاء في عام 1922 Lindeberg CLT كان موضوع أطروحة زمالة Alan Turing لعام 1934 لكلية King’s College في جامعة كامبريدج. فقط بعد تقديم العمل علم تورينج أنه قد تم إثباته بالفعل. وبالتالي، لم يتم نشر أطروحة تورينج.
التقارب إلى أقصى حد
تعطي نظرية الحد المركزي توزيعًا مقاربًا فقط. كتقريب لعدد محدود من الملاحظات، فإنه يوفر تقديرًا تقريبيًا معقولًا فقط عندما يقترب من ذروة التوزيع الطبيعي؛ يتطلب عددًا كبيرًا جدًا من الملاحظات لتمتد إلى الذيول.
التقارب في نظرية الحد المركزي منتظم لأن دالة التوزيع التراكمي المحدودة مستمرة. إذا كانت اللحظة المركزية الثالثة \[ E [(X_{1} – \mu )^{3}]} \] موجودة و محدودة، فإن سرعة التقارب تكون على الأقل في حدود [ { 1/{\sqrt {n}}} }} \] . يمكن استخدام طريقة شتاين ليس فقط لإثبات نظرية الحد المركزي، و لكن أيضًا لتوفير حدود لمعدلات التقارب للمقاييس المحددة.
التقارب مع التوزيع الطبيعي رتيب، بمعنى أن إنتروبيا Zn تزداد بشكل رتيب إلى التوزيع الطبيعي.
تنطبق نظرية الحد المركزي بشكل خاص على مجاميع المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متماثل. لا يزال مجموع المتغيرات العشوائية المنفصلة متغيرًا عشوائيًا منفصلاً، بحيث نواجه سلسلة من المتغيرات العشوائية المنفصلة التي تتقارب دالة توزيع الاحتمالية التراكمية نحو دالة توزيع احتمالية تراكمية تقابل متغيرًا مستمرًا (أي التوزيع الطبيعي) . هذا يعني أنه إذا قمنا ببناء مدرج تكراري لإدراك مجموع n متغيرات منفصلة متطابقة مستقلة، فإن المنحنى الذي يربط بين مراكز الوجوه العلوية للمستطيلات التي تشكل الرسم البياني يتقارب نحو منحنى غاوسي عندما تقترب n من اللانهاية، فإن هذه العلاقة هي المعروفة باسم de Moivre – Laplace theorem. تشرح مقالة التوزيع ذات الحدين بالتفصيل تطبيقًا لنظرية الحد المركزي في الحالة البسيطة لمتغير منفصل يأخذ قيمتين محتملتين فقط.
علاقة نظرية الحد المركزي بقانون الأعداد الكبيرة
قانون الأعداد الكبيرة وكذلك نظرية الحد المركزي هي حلول جزئية لمشكلة عامة: “ما هو السلوك المحدد لـ Sn عندما يقترب n من اللانهاية؟” في التحليل الرياضي، تعد السلاسل المقاربة واحدة من أكثر الأدوات شيوعًا المستخدمة للتعامل مع مثل هذه الأسئلة.
لنفترض أن لدينا توسع مقارب لـ f(n):
\[ f(n) = a_{1}\varphi_{1}(n) + a_{2}\varphi_{2}(n) + O{\big (}\varphi _{3}(n){\big )}\qquad (n\to \infty ).} \]
قسمة كلا الجزأين على φ1(n) وأخذ الحد سينتج عنه a1 و هو معامل الحد الأعلى من الترتيب في التمدد، والذي يمثل المعدل الذي تتغير به f(n) في المصطلح الرئيسي.
\[ \lim_{n\to \infty } {\frac {f(n)}{\varphi_{1}(n)}} = a_{1}.} \]
بشكل غير رسمي، يمكن للمرء أن يقول: “f(n) تنمو تقريبًا مثل a1φ1(n)”. بأخذ الفرق بين f(n) و تقريبه ثم القسمة على المصطلح التالي في التوسع، نصل إلى بيان أكثر دقة حول f(n):
\[ \lim_{n\to \infty }{ \frac { f(n)-a_{ 1 }\varphi_{ 1 }(n) }{ \varphi_{ 2 }(n)}} = a_{ 2 }.} \]
هنا يمكن للمرء أن يقول أن الفرق بين الوظيفة وتقريبها ينمو تقريبًا مثل a2φ2(n). الفكرة هي أن تقسيم الدالة عن طريق دوال التطبيع المناسبة، والنظر في السلوك المحدود للنتيجة، يمكن أن يخبرنا كثيرًا عن السلوك المحدد للدالة الأصلية نفسها.
بشكل غير رسمي، يحدث شيء ما على طول هذه الخطوط عندما تتم دراسة مجموع، Sn، للمتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل، X1 ، … ، Xn ، في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية. إذا كان لكل Xi متوسط محدود μ، فبموجب قانون الأعداد الكبيرة، Sn/n → μ. إذا كان لكل Xi بالإضافة إلى ذلك تباينًا محدودًا σ2 فعندئذٍ من خلال نظرية الحد المركزي،
\[ { \frac {S_{n} – n\mu }{ \sqrt { n }}}\rightarrow \xi , \]
حيث يتم توزيع ξ كـ N(0، σ2). يوفر هذا قيم أول ثابتين في التوسع غير الرسمي
\[ {\S_{n}\approx \mu n + \xi {\sqrt { n }}.} \]
في حالة عدم احتواء Xi على متوسط أو تباين محددين، يمكن أن يحدث أيضًا تقارب المبلغ المُزاح والمُعاد قياسه مع عوامل تمركز وقياس مختلفة:
\[ { \frac {S_{ n } – a_{ n }}{b_{ n }}}\rightarrow \Xi , \]
أو بشكل غير رسمي
\[ {\ S_{n}\approx a_{n} + \Xi b_{n}.} \]
التوزيعات Ξ التي يمكن أن تنشأ بهذه الطريقة تسمى مستقرة. من الواضح أن التوزيع الطبيعي مستقر، و لكن هناك أيضًا توزيعات مستقرة أخرى، مثل توزيع كوشي، حيث لم يتم تحديد المتوسط أو التباين. قد يكون عامل القياس bn متناسبًا مع nc، لأي c ≥ ½؛ يمكن أيضًا ضربها بدالة متغيرة ببطء لـ n.
يحدد قانون اللوغاريتم المتكرر ما يحدث “بين” قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي. تشير على وجه التحديد إلى أن وظيفة التطبيع \[ {\sqrt { n log log n }}.} \]، وسيطة الحجم بين n لقانون الأعداد الكبيرة و n لنظرية الحد المركزي، توفر سلوكًا محدودًا غير تافه.
البيانات البديلة لنظرية الحد المركزي
- دوال الكثافة
كثافة مجموع متغيرين مستقلين أو أكثر هي التفاف كثافتها (في حالة وجود هذه الكثافات). و بالتالي يمكن تفسير نظرية الحد المركزي على أنها بيان حول خصائص دوال الكثافة في ظل الالتواء: يميل الالتفاف لعدد من دوال الكثافة إلى الكثافة الطبيعية حيث يزداد عدد دوال الكثافة بدون تقييد. تتطلب هذه النظريات فرضيات أقوى من أشكال نظرية الحد المركزية المذكورة أعلاه. غالبًا ما تسمى النظريات من هذا النوع بنظريات الحدود المحلية.
- دوال مميزة
نظرًا لأن الدالة المميزة للالتواء هي نتاج الدوال المميزة للكثافات المعنية، فإن نظرية الحد المركزي لها إعادة صياغة أخرى: يصبح ناتج الدوال المميزة لعدد من دوال الكثافة قريبًا من الداله المميزة للكثافة العادية حيث يزداد عدد دوال الكثافة بدون قيود، في ظل الظروف المذكورة أعلاه. على وجه التحديد، يجب تطبيق عامل القياس المناسب على وسيطة الدالة المميزة.
يمكن عمل بيان مكافئ حول تحويلات فورييه، لأن الدالة المميزة هي في الأساس تحويل فورييه.
ملحقات نظرية الحد المركزي
- منتجات المتغيرات العشوائية الموجبة
لوغاريتم المنتج هو ببساطة مجموع لوغاريتمات العوامل. لذلك، عندما يقترب لوغاريتم منتج من المتغيرات العشوائية التي تأخذ قيمًا موجبة فقط من التوزيع الطبيعي، فإن المنتج نفسه يقترب من التوزيع اللوغاريتمي العادي. العديد من الكميات الفيزيائية (خاصة الكتلة أو الطول، و هي مسألة مقياس و لا يمكن أن تكون سالبة) هي نتاج عوامل عشوائية مختلفة، لذا فهي تتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. تسمى هذه النسخة المضاعفة لنظرية الحد المركزي أحيانًا قانون جبرات.
في حين أن نظرية الحد المركزي لمجموع المتغيرات العشوائية تتطلب شرط التباين المحدود، فإن النظرية المقابلة للمنتجات تتطلب الشرط المقابل بأن تكون دالة الكثافة قابلة للتكامل بشكل مربع.
تطبيقات وأمثلة لنظرية الحد المركزي
مثال بسيط:
يوضح هذا الشكل نظرية الحد المركزي. يتم إنشاء متوسط العينة باستخدام مولد أرقام عشوائي، والذي يرسم الأرقام بين 0 و 100 من توزيع احتمالي موحد. و هي توضح أن زيادة أحجام العينة تؤدي إلى توزيع 500 عينة تم قياسها عن كثب حول متوسط السكان (50 في هذه الحالة). يقارن أيضًا التوزيعات المرصودة بالتوزيعات المتوقعة لتوزيع غاوسي طبيعي، و يظهر قيم مربع كاي التي تحدد جودة الملاءمة (الملاءمة جيدة إذا كانت قيمة مربع كاي المخفض أقل من أو تقريبًا يساوي واحد). الإدخال في دالة Gaussian المعيارية هو متوسط العينة ( 50~) ومتوسط الانحراف المعياري للعينة مقسومًا على الجذر التربيعي لحجم العينة (28.87/√n ~)، وهو ما يسمى الانحراف المعياري للمتوسط ( لأنه يشير إلى انتشار وسائل العينة).
مثال بسيط على نظرية الحد المركزي هو طرح العديد من أحجار النرد المتطابقة وغير المتحيزة. سيتم تقريب توزيع مجموع (أو متوسط) الأرقام التي تم تدويرها بشكل جيد عن طريق التوزيع الطبيعي. نظرًا لأن كميات العالم الحقيقي غالبًا ما تكون المجموع المتوازن للعديد من الأحداث العشوائية غير المرصودة، فإن نظرية الحد المركزي توفر أيضًا تفسيرًا جزئيًا لانتشار التوزيع الاحتمالي الطبيعي. كما أنه يبرر تقريب إحصائيات العينة الكبيرة للتوزيع الطبيعي في التجارب الخاضعة للرقابة.
مقارنة دوال كثافة الاحتمال، **p(k) لمجموع n نرد سداسي الجوانب عادل لإظهار تقاربها مع التوزيع الطبيعي مع زيادة n، وفقًا لنظرية الحد المركزي. في الرسم البياني السفلي الأيمن، يتم إعادة قياس ملفات التعريف المصقولة للرسومات البيانية السابقة وفرضها ومقارنتها بالتوزيع الطبيعي (منحنى أسود).
محاكاة أخرى باستخدام التوزيع ذي الحدين. تم إنشاء 0 و 1 عشوائيًا، ثم تم حساب متوسطاتهما لأحجام العينات التي تتراوح من 1 إلى 512. لاحظ أنه مع زيادة حجم العينة، تصبح الأطراف أرق ويصبح التوزيع أكثر تركيزًا حول الوسط.
تطبيقات حقيقية لنظرية الحد المركزي
تحتوي الأدبيات المنشورة على عدد من الأمثلة والتطبيقات المفيدة والمثيرة للاهتمام المتعلقة بنظرية الحد المركزي. يوضح أحد المصادر الأمثلة التالية:
- التوزيع الاحتمالي للمسافة الإجمالية التي يتم تغطيتها في مسيرة عشوائية (متحيزة أو غير منحازة) سوف يميل نحو التوزيع الطبيعي.
- سيؤدي تقليب العديد من العملات إلى توزيع طبيعي للعدد الإجمالي للرؤوس (أو إجمالي عدد ذيول).
من وجهة نظر أخرى، تشرح نظرية الحد المركزي المظهر الشائع لـ “منحنى الجرس” في تقديرات الكثافة المطبقة على بيانات العالم الحقيقي. في حالات مثل الضوضاء الإلكترونية، و درجات الامتحانات، و ما إلى ذلك، يمكننا غالبًا اعتبار قيمة مُقاسة واحدة كمتوسط مرجح للعديد من التأثيرات الصغيرة. باستخدام تعميمات نظرية الحد المركزي، يمكننا بعد ذلك أن نرى أن هذا غالبًا (وإن لم يكن دائمًا) ينتج توزيعًا نهائيًا طبيعيًا تقريبًا.
بشكل عام، كلما كان القياس أشبه بمجموع المتغيرات المستقلة ذات التأثير المتساوي على النتيجة، زادت الحالة الطبيعية التي يظهرها. هذا يبرر الاستخدام الشائع لهذا التوزيع للتعبير عن تأثيرات المتغيرات غير المرصودة في نماذج مثل النموذج الخطي.
يحدد تحليل الانحدار و خاصة المربعات الصغرى العادية أن المتغير التابع يعتمد وفقًا لبعض الدوال على واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة، مع مصطلح خطأ إضافي. تفترض أنواع مختلفة من الاستدلال الإحصائي على الانحدار أن مصطلح الخطأ يتم توزيعه بشكل طبيعي. يمكن تبرير هذا الافتراض بافتراض أن مصطلح الخطأ هو في الواقع مجموع العديد من شروط الخطأ المستقلة؛ حتى إذا لم يتم توزيع مصطلحات الخطأ الفردية بشكل طبيعي، فمن خلال نظرية الحد المركزي يمكن تقريب مجموعها بشكل جيد عن طريق التوزيع الطبيعي.
رسم توضيحي لنظرية الحد المركزي
نظرًا لأهميتها للإحصاءات، يتوفر عدد من الأوراق و حزم الكمبيوتر التي توضح التقارب الذي تنطوي عليه نظرية الحد المركزي، و هنا نلخصها.
في نظرية الاحتمالات، تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أنه في كثير من الحالات، عند إضافة متغيرات عشوائية مستقلة، فإن مجموعها الطبيعي بشكل صحيح يميل إلى التوزيع الطبيعي.
تقدم هذه المقالة اثنين من الرسوم التوضيحية لهذه النظرية. كلاهما يشتمل على مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متماثل ويوضحان كيف يقترب التوزيع الاحتمالي للمبلغ من التوزيع الطبيعي مع زيادة عدد المصطلحات في المجموع.
يتضمن الرسم التوضيحي الأول توزيعًا احتماليًا مستمرًا، حيث يكون للمتغيرات العشوائية دالة كثافة احتمالية. الرسم التوضيحي الثاني، والذي يمكن إجراء معظم العمليات الحسابية له يدويًا، يتضمن توزيعًا احتماليًا منفصلًا، والذي يتميز بوظيفة كتلة احتمالية.
رسم توضيحي للحالة المستمرة
كثافة مجموع اثنين من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات القيمة الحقيقية تساوي التفاف دوال الكثافة للمتغيرات الأصلية. وبالتالي، فإن كثافة مجموع شروط m + n لسلسلة من المتغيرات المستقلة الموزعة بشكل متماثل تساوي الالتواء في كثافات مجموع المصطلحات m والمصطلح n. على وجه الخصوص، فإن كثافة مجموع n + 1 تساوي التفاف كثافة مجموع n مع الكثافة الأصلية (“مجموع” 1 مصطلح).
تظهر دالة كثافة الاحتمال في الشكل الأول أدناه. ثم تظهر في الأشكال التالية كثافات مجموع متغيرين وثلاثة وأربعة متغيرات مستقلة موزعة بشكل متماثل، ولكل منها الكثافة الأصلية. إذا كانت الكثافة الأصلية متعددة الحدود متعددة الحدود، كما هو الحال في المثال، فحينئذٍ تكون الكثافة الإجمالية ذات درجة أعلى بشكل متزايد. على الرغم من أن الكثافة الأصلية بعيدة عن أن تكون طبيعية ، إلا أن كثافة مجموع عدد قليل من المتغيرات بهذه الكثافة تكون أكثر سلاسة ولها بعض السمات النوعية للكثافة العادية.
تم حساب التلافيف عبر تحويل فورييه المنفصل. تم إنشاء قائمة بالقيم y = f (x0 + k Δx)، حيث f هي دالة الكثافة الأصلية، و x تساوي تقريبًا 0.002، و k تساوي 0 إلى 1000. ثم تم حساب تحويل فورييه المنفصل Y لـ y. من ثم يتناسب التفاف f مع نفسها مع تحويل فورييه المنفصل العكسي لمنتج Y مع نفسه.
دالة كثافة الاحتمال
دالة كثافة الاحتمال الأصلية
نبدأ بدالة كثافة الاحتمال. هذه الدالة، على الرغم من انقطاعها، ليست أكثر الأمثلة المرضية التي يمكن إنشاؤها. إنها متعددة الحدود، بقطع من الدرجات 0 و 1. متوسط هذا التوزيع هو 0 وانحرافه المعياري هو 1.
كثافة مجموع متغيرين
دالة كثافة الاحتمال لمجموع فترتين
بعد ذلك نحسب كثافة مجموع متغيرين مستقلين، لكل منهما الكثافة المذكورة أعلاه. كثافة المجموع هي التفاف الكثافة المذكورة أعلاه مع نفسها.
مجموع متغيرين يعني 0. تم تغيير الكثافة الموضحة في الشكل على اليسار بمقدار \[ sqrt {2} \]، بحيث يكون انحرافها المعياري 1.
هذه الكثافة بالفعل أكثر سلاسة من الأصلية. هناك كتل واضحة تتوافق مع الفترات التي تم فيها تحديد الكثافة الأصلية.
كثافة مجموع ثلاثة متغيرات
دالة كثافة الاحتمال لمجموع ثلاثة شروط
ثم نحسب كثافة مجموع ثلاثة متغيرات مستقلة، لكل منها الكثافة المذكورة أعلاه. كثافة المجموع هي الالتواء للكثافة الأولى مع الثانية.
مجموع ثلاثة متغيرات يعني 0. تم تغيير الكثافة الموضحة في الشكل على اليمين بمقدار \[ sqrt {3} \]، بحيث يكون انحرافها المعياري 1.
هذه الكثافة أكثر سلاسة من السابقة. بالكاد يمكن اكتشاف الكتل في هذا الشكل.
كثافة مجموع أربعة متغيرات
دالة كثافة الاحتمال لمجموع أربعة شروط
أخيرًا، نحسب كثافة مجموع أربعة متغيرات مستقلة، لكل منها الكثافة المذكورة أعلاه. كثافة المجموع هي الالتواء للكثافة الأولى مع الكثافة الثالثة (أو الكثافة الثانية مع نفسها).
مجموع أربعة متغيرات يعني 0. تم تغيير الكثافة الموضحة في الشكل على اليمين بمقدار \[ sqrt {4} \]، بحيث يكون انحرافها المعياري 1.
تبدو هذه الكثافة مشابهة نوعيًا جدًا للكثافة العادية.لا يمكن تمييز الكتل بالعين.
رسم توضيحي للحالة المنفصلة
يوضح هذا القسم نظرية الحد المركزي من خلال مثال يمكن من خلاله إجراء الحساب بسرعة يدويًا على الورق، على عكس المثال الأكثر كثافة في الحوسبة في القسم السابق.
مجموع كل التباديل ذات الطول 1 المحدد من مجموعة الأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3
دالة كتلة الاحتمال الأصلية
افترض أن التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي منفصل X يضع أوزانًا متساوية على 1 و 2 و 3:
X =
1، with probability 1/3
2، with probability 1/3
3، with probability 1/3
يمكن توضيح دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي X بالرسم البياني الشريطي التالي:
من الواضح أن هذا لا يشبه منحنى التوزيع الطبيعي على شكل جرس. قارن ما سبق مع الصور أدناه.
مجموع كل التباديل ذات الطول 2 المحدد من مجموعة الأعداد الصحيحة 1 ، 2 ، 3
الملفات المرفقة
