تويت
تمهيد
قد لا يكون للكلام الوارد هنا تطبيق عملي في حياة معظمنا فأكثر من يهمهم هذا الموضوع هم الذين يعملون في مجالات الاتصالات الرقمية والدارات المطبوعة وبعض اختصاصات الهندسة الالكترونية ولكننا في بعض الأحيان نتعلم شيئا لنوسع مداركنا الحياتية فقد لا تجد فائدة مباشرة من التقنيات المذكورة هنا ولكنها ستساعدك في تغيير نظرتك إلى علم الأرقام والأعداد التي تعلمتها منذ طفولتك وقد تعطيك نظرة جديدة حتى للأصابع العشرة في يديك
جميعنا نعرف نظام العد العشري (decimal) الذي يستخدم عشرة رموز هي (0123456789) للتعبير عن الأعداد والذي ظل لفترة طويلة النظام العددي الوحيد المعترف به بين البشر ولكنه في الحقيقة ليس إلا فرداً من مجموعة غير منتهية من أنظمة العد وأظن أن ما ساهم في شهرته وانطلاقه دونا عن غيره هو مطابقة قاعدته لعدد أصابع اليد عن الإنسان مما جعله الأسهل للاستخدام,
ولكن في القرن الماضي ولحاجات علمية في بعض مجالات العلم وبسبب الاعتماد على آلات لا تملك عشرة أصابع وإنما تملك تيار كهربائي يملك خصائص مختلفة في العد (فهو إما موجود: الحالة واحد أو غير موجود : الحالة صفر) فقد تم لفت الانتباه إلى عدة أنظمة وشهرها وهي:
الثنائي binary والذي يستخدم الرمزين (01)
الستعشري hexadecimal الذي يستخدم أيضا ستة عشر رمز هي (0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-A-B-C-D-E-F) حيث يرمز فيه للرقم 10 بالرمز A والرقم 11 يصبح B وهكذا حتى نصل إلى الرقم 15 والذي يمثله الحرف F
الثماني octal ويستخدم ثمانية رموز هي (01234567)
(تم الاعتماد على هذه الأنظمة –الثماني والست عشري – بشكل اصطلاحي حيث اعتمد طول البايت في الكمبيوترات المعروفة بـ8 بتات لأن ذلك قادر على تشفير 256 حالة وهي قادرة على تغطية المحارف المطلوبة في الكمبيوتر, مع العلم أنه توجد أنظمة الكترونية أخرى تعتمد أنظمة عددية أخرى كالخماسي والسباعي .... ولكنها أقل شهرة)
في الحقيقة يوجد عدد غير محدود من أنظمة العد وتستخدم النظم الرقمية العديد منها حسب تصميم كل نظام ولكن الأشهر هي المذكورة سابقا حيث يستخدم كل نظام رموزاَ بعدد أساسه أي أن النظام العشري أساسه 10 وهو يستخدم 10 رموز والنظام الثماني يستخدم ثمانية وهكذا ....
التحويل بين الأنظمة
فيما يلي سنتعلم بعض التحويلات بين الأنظمة المختلفة:
نحن معتادون على كتابة الأرقام في النظام العشري حيث نبدأ من الصفر وننتهي بالتسعة ثم نضيف خانة جديدة عند العشرة وهكذا دائما نضيف واحد للخانة الأصغر وعندما تصل هذه الخانة إلى حد الإشباع (الرمز الأخير) نعيدها إلى الصفر ونضيف واحد إلى الخانة التالية مع الأخذ بعين الاعتبار أنه عدم وجود رمز مسبقا في الخانة يعني أنها تحوي الرمز 0 فإذا طبقنا نفس النظرية على النظام الخماسي مثلا والذي من المفروض أنه يستخدم خمسة رموز (01234) نجد
مع ملاحظة أن الرمز c يعني خماسي و D هو للعشري
C 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
وهكذا بالنسبة لبقية الأنظمة
جميعنا يستطيع كتابة أي رقم بالنظام العشري كوننا معتادين عليه فمثلا عندما يقول شخص أمامك أربعمائة وستة وستون فإنك مباشرة تكتب 466 بالعشري ولكن كيف يمكن كتابة الرقم بأنظمة أخرى غير العشري
قد يبدو الموضوع معقدا للبعض ولكنه للصراحة بسيط إلا أنه طويل قليلا
سنحاول الآن كتابة 466 بالستعشري:
1. نقسم العدد على 16 قسمة مع باقي 644/16 = 29 والباقي 2 فيكون الرقم الأول في الستعشري هو نفسه الباقي أي 2
2. نأخذ الناتج ونقسمه بنفس الطريقة على 16 فيكون 29/16 = 1 والباقي 13 إذن الباقي هو الرقم الثاني ولكننا اتفقنا أنه 13 بالعشري هي D بالستعشري
3. بقي لدينا 1 نقسمه على 16 فيكون 1/16 = 0 والباقي 1 وهو الرقم الثالث
والنتيجة 466 عشري = 1D2 ستعشري
لنحاول كتابة نفس الرقم بالثماني
466/8 = 58 والباقي 2 الرقم الأول 2
58/8 = 7 والباقي 2 الرقم الثاني 2
7/8 = 0 والباقي 7
والنتيجة 466 عشري = 722 ثماني
بالنسبة للنظام الأشهر (الثنائي)
466/2 = 233 والباقي 0
233/2 = 116 والباقي 1
116/2 = 58 والباقي 0
58/2 = 29 والباقي 0
29/2 = 14 والباقي 1
14/2 = 7 والباقي 0
7/2 = 3 والباقي 1
3/2 = 1 والباقي 1
1/2 = 0 والباقي 1
وبالتالي 466 = 111010010 (لاحظ عدد الخانات)
الحالة المعاكسة
سنحاول الآن التحويل العكسي لاحظ أن الرقم 327 مثلا يمكننا كتابته كما يلي
(مع ملاحظة أن الرمز ^ يدل على الأس)
327 = 7*1 + 2*10 + 3*100 = 7*(10)^0 + 2*(10)^1 + 3*(10)^2
أي نضرب كل رقم بالعدد عشرة (أو حسب النظام الذي نستعمله ففي النظام الثماني نضرب بثمانية وهكذا) مرفوعا للأس حسب ترتيب الخانة ابتداء من الصفر
وأفضل طريقة هي الأمثلة العددية
1- سنحول الرقم 4E3 من الستعشري إلى النظام العشري (لاحظ أننا سنستعيض عن الرمز E بالرقم المقابل له في العشري وهو 14)
بحركة بسيطة
3*(16)^0 + 14*(16)^1 + 4*(16)^2 = 3*1 + 14*16 + 4*256 = 3+224+1024=1251
2- سنحاول الآن تحويل العدد 110101 من الثنائي إلى العشري
1*(2)^0 + 0*(2)^1 + 1*(2)^2 + 0*(2)^3 + 1*(2)^4 + 1*(2)^5 =
1*1 +0 *2 +1*4 + 0*8 +1*16 + 1* 32 =
1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 32 = 53
تعليق